Номер 13, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.13. Докажите, что функция $f(x) = \log_2\left(\frac{3-x}{3+x}\right)$ является нечетной.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \log_2 \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$ является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий, которым должна удовлетворять любая нечетная функция:

1. Область определения функции, $D(f)$, должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен ей принадлежать).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим оба условия по порядку.

1. Нахождение и проверка области определения.

Область определения логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля.

$\frac{3-x}{3+x} > 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

• $3 - x = 0 \implies x = 3$
• $3 + x = 0 \implies x = -3$

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак дроби в каждом из интервалов:

• Для $x \in (-\infty, -3)$ (например, $x=-4$): $\frac{3-(-4)}{3+(-4)} = \frac{7}{-1} = -7 < 0$.
• Для $x \in (-3, 3)$ (например, $x=0$): $\frac{3-0}{3+0} = \frac{3}{3} = 1 > 0$.
• Для $x \in (3, +\infty)$ (например, $x=4$): $\frac{3-4}{3+4} = \frac{-1}{7} < 0$.

Неравенство выполняется только на интервале $(-3, 3)$. Следовательно, область определения функции:

$D(f) = (-3, 3)$

Данный интервал является симметричным относительно начала координат (точки 0), так как для любого числа $x$ из этого интервала, противоположное ему число $-x$ также принадлежит этому интервалу. Таким образом, первое условие выполняется.

2. Проверка равенства $f(-x) = -f(x)$.

Теперь найдем выражение для $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в исходную функцию:

$f(-x) = \log_2 \left(\frac{3-(-x)}{3+(-x)}\right) = \log_2 \left(\frac{3+x}{3-x}\right)$

Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_a \left(\frac{1}{b}\right) = \log_a(b^{-1}) = -\log_a(b)$. Аргумент полученной функции можно представить как перевернутый аргумент исходной функции:

$\frac{3+x}{3-x} = \left(\frac{3-x}{3+x}\right)^{-1}$

Подставим это обратно в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \log_2 \left(\left(\frac{3-x}{3+x}\right)^{-1}\right)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \log_a(b)$, получаем:

$f(-x) = -1 \cdot \log_2 \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$

Так как $\log_2 \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$ есть не что иное, как исходная функция $f(x)$, мы приходим к равенству:

$f(-x) = -f(x)$

Второе условие также выполняется.

Вывод:Поскольку область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, функция $f(x) = \log_2 \left(\frac{3-x}{3+x}\right)$ является нечетной.