Номер 15, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.15. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{\log_{5}|x - 4|}{\sqrt{5 + 4x - x^2}}$.

Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{\log_5|x - 4|}{\sqrt{5 + 4x - x^2}}$ необходимо, чтобы выполнялись два условия одновременно:

1. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго больше нуля.
2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля (поскольку корень не может быть из отрицательного числа, а знаменатель не может быть равен нулю).

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} |x - 4| > 0 \\ 5 + 4x - x^2 > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$|x - 4| > 0$

Модуль любого выражения всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Он равен нулю только тогда, когда выражение под модулем равно нулю. Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых $|x - 4| \neq 0$.

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

2. Решение второго неравенства:

$5 + 4x - x^2 > 0$

Это квадратное неравенство. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства:

$x^2 - 4x - 5 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5=0$. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -5$

Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.

График функции $y = x^2 - 4x - 5$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения на интервале между своими корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < x < 5$, или $x \in (-1; 5)$.

3. Объединение условий:

Теперь необходимо найти пересечение решений двух неравенств, то есть найти все $x$, которые удовлетворяют обоим условиям:

$\begin{cases} x \neq 4 \\ x \in (-1; 5) \end{cases}$

Это означает, что из интервала $(-1; 5)$ нужно исключить точку $x=4$. В результате получаем итоговую область определения функции, которая является объединением двух интервалов.

Ответ: $D(f) = (-1; 4) \cup (4; 5)$.