Номер 19, страница 60 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.19. Постройте график функции $y = \log_3 \frac{1}{|x|}$.

1. Упрощение функции

Исходная функция: $y = \log_3 \frac{1}{|x|}$.

Используем свойство логарифма частного $\log_a(\frac{b}{c}) = \log_a b - \log_a c$, а также свойство $\log_a 1 = 0$:

$y = \log_3 1 - \log_3 |x| = 0 - \log_3 |x|$

Таким образом, функция принимает вид:

$y = -\log_3 |x|$

Также можно использовать свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \log_a b$:

$y = \log_3 (|x|^{-1}) = -1 \cdot \log_3 |x| = -\log_3 |x|$

2. Анализ функции

• Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В нашем случае $\frac{1}{|x|} > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой графика.
• Четность: Проверим функцию на четность. Пусть $f(x) = -\log_3 |x|$.
  Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -\log_3 |-x| = -\log_3 |x| = f(x)$.
  Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY. Следовательно, мы можем построить график для $x > 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY, чтобы получить полный график.

3. Построение графика

Построение будет выполнено в несколько этапов:

1. Построение графика для $x > 0$.
   При $x > 0$, модуль $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -\log_3 x$.
   Этот график можно получить из графика базовой функции $y = \log_3 x$ путем симметричного отражения относительно оси OX.
2. Нахождение ключевых точек для $y = -\log_3 x$.
   Составим таблицу значений для $y = -\log_3 x$ при $x > 0$:

   $x$	$y = -\log_3 x$	Точка на графике
   $1/9$	$-\log_3(1/9) = -(-2) = 2$	$(1/9, 2)$
   $1/3$	$-\log_3(1/3) = -(-1) = 1$	$(1/3, 1)$
   $1$	$-\log_3 1 = -0 = 0$	$(1, 0)$
   $3$	$-\log_3 3 = -1$	$(3, -1)$
   $9$	$-\log_3 9 = -2$	$(9, -2)$

   Для $x > 0$ график представляет собой убывающую кривую, проходящую через точки $(1/3, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$. При приближении $x$ к $0$ справа ($x \to 0^+$), значение $y$ стремится к $+\infty$.

3. Построение полного графика.
   Используя четность функции, отражаем построенную ветвь для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Это дает нам вторую ветвь графика для $x < 0$. Ключевые точки на этой ветви будут: $(-1/9, 2)$, $(-1/3, 1)$, $(-1, 0)$, $(-3, -1)$, $(-9, -2)$.
   Для $x < 0$ график представляет собой возрастающую кривую. При приближении $x$ к $0$ слева ($x \to 0^-$), значение $y$ также стремится к $+\infty$.

4. Итоговое описание графика

График функции $y = \log_3 \frac{1}{|x|}$ состоит из двух симметричных ветвей относительно оси OY.

• Симметрия: График симметричен относительно оси OY.
• Асимптота: Вертикальная асимптота $x=0$ (ось OY).
• Пересечения с осями:
  • С осью OY пересечений нет, так как $x \neq 0$.
  • С осью OX: $y=0 \Rightarrow -\log_3|x|=0 \Rightarrow \log_3|x|=0 \Rightarrow |x|=3^0=1$. Отсюда $x=1$ и $x=-1$. Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.
• Поведение функции:
  • Функция возрастает на интервале $(-\infty, 0)$.
  • Функция убывает на интервале $(0, +\infty)$.
  • При $x \to 0$ (справа и слева), $y \to +\infty$.
  • При $x \to \pm\infty$, $y \to -\infty$.

Таким образом, график представляет собой две кривые, которые начинаются вблизи оси OY при $y \to +\infty$, пересекают ось OX в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и уходят вниз к $-\infty$ по мере того, как $|x|$ увеличивается.