Номер 9.16, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.16. Зная, что $tg\alpha = 1,25$, найдите значение выражения $\frac{4\sin\alpha\cos\alpha - \cos^2\alpha}{1+3\cos^2\alpha}$.

Для решения этой задачи необходимо выразить данное выражение через $\text{tg}\alpha$. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную для удобства вычислений:

$$ \text{tg}\alpha = 1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} $$

Исходное выражение:

$$ \frac{4\sin\alpha\cos\alpha - \cos^2\alpha}{1+3\cos^2\alpha} $$

Чтобы перейти к тангенсу, разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^2\alpha$. Этот шаг является корректным, так как если бы $\cos\alpha = 0$, то $\text{tg}\alpha$ был бы не определен, что противоречит условию $\text{tg}\alpha = 1,25$.

$$ \frac{\frac{4\sin\alpha\cos\alpha - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{1+3\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{3\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}} $$

Используем тригонометрические тождества $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha$ и $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \text{tg}^2\alpha$ для упрощения выражения:

Числитель: $4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 1 = 4\text{tg}\alpha - 1$.

Знаменатель: $\frac{1}{\cos^2\alpha} + 3 = (1 + \text{tg}^2\alpha) + 3 = 4 + \text{tg}^2\alpha$.

Таким образом, мы получили выражение, зависящее только от $\text{tg}\alpha$:

$$ \frac{4\text{tg}\alpha - 1}{4 + \text{tg}^2\alpha} $$

Теперь подставим значение $\text{tg}\alpha = \frac{5}{4}$ в полученное выражение и вычислим его значение:

$$ \frac{4 \cdot \frac{5}{4} - 1}{4 + (\frac{5}{4})^2} = \frac{5 - 1}{4 + \frac{25}{16}} = \frac{4}{\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{25}{16}} = \frac{4}{\frac{64 + 25}{16}} = \frac{4}{\frac{89}{16}} $$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:

$$ 4 \cdot \frac{16}{89} = \frac{64}{89} $$

9.16. Ответ: $\frac{64}{89}$