Номер 9.12, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.12. Найдите наименьшее значение выражения $7\cos^2\alpha + 8\sin^2\alpha - 4$.

9.12. Для нахождения наименьшего значения выражения $7\cos^2\alpha + 8\sin^2\alpha - 4$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Преобразуем исходное выражение. Представим $8\sin^2\alpha$ в виде суммы $7\sin^2\alpha + \sin^2\alpha$:
$7\cos^2\alpha + 8\sin^2\alpha - 4 = 7\cos^2\alpha + 7\sin^2\alpha + \sin^2\alpha - 4$
Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем общий множитель 7 за скобку:
$7(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha - 4$
Используя тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, заменим выражение в скобках на единицу:
$7 \cdot 1 + \sin^2\alpha - 4 = 7 + \sin^2\alpha - 4 = 3 + \sin^2\alpha$
Таким образом, исходное выражение равно $3 + \sin^2\alpha$. Теперь необходимо найти наименьшее значение этого нового выражения.
Значение функции синус для любого угла $\alpha$ находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin\alpha \le 1$.
При возведении в квадрат, значения $\sin^2\alpha$ будут находиться в пределах от 0 до 1, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$.
Наименьшее значение выражения $3 + \sin^2\alpha$ достигается при наименьшем значении слагаемого $\sin^2\alpha$.
Наименьшее значение $\sin^2\alpha$ равно 0.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения составляет:
$3 + 0 = 3$.
Ответ: 3