Номер 9.17, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

$\sqrt{1+2\sin\alpha\cos\alpha}$, если известно, что $\alpha$ – угол третьей четверти.

Для упрощения выражения $\sqrt{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой квадрата суммы.

Сначала представим единицу в подкоренном выражении, используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$1 + 2\sin\alpha\cos\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha$

Получившееся выражение является полным квадратом суммы: $\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2$.

Теперь исходное выражение можно переписать следующим образом:
$\sqrt{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha} = \sqrt{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2}$

Применяя свойство квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2} = |\sin\alpha + \cos\alpha|$

По условию задачи известно, что $\alpha$ — угол третьей четверти. В третьей четверти (от $180^\circ$ до $270^\circ$) и синус, и косинус принимают отрицательные значения:
$\sin\alpha < 0$
$\cos\alpha < 0$

Следовательно, их сумма также будет отрицательной:
$\sin\alpha + \cos\alpha < 0$

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то модуль раскрывается с противоположным знаком ($|a| = -a$ при $a < 0$). Таким образом:
$|\sin\alpha + \cos\alpha| = -(\sin\alpha + \cos\alpha) = -\sin\alpha - \cos\alpha$

Ответ: $-\sin\alpha - \cos\alpha$.