Номер 9.15, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.15. Докажите, что $tg^2\alpha + ctg^2\alpha \ge 2$.

Для доказательства данного неравенства можно использовать несколько подходов. Рассмотрим один из них, основанный на свойстве квадрата действительного числа.

Во-первых, определим область допустимых значений. Выражения $\text{tg}\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$ определены, когда $\alpha \ne \frac{\pi k}{2}$, где $k$ - любое целое число. В этой области $\text{tg}\alpha \ne 0$ и $\text{ctg}\alpha \ne 0$.

Рассмотрим квадрат разности $\text{tg}\alpha$ и $\text{ctg}\alpha$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю).

$(\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha)^2 \ge 0$

Теперь раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$\text{tg}^2\alpha - 2 \cdot \text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha + \text{ctg}^2\alpha \ge 0$

Известно, что тангенс и котангенс одного и того же угла являются взаимно обратными величинами, поэтому их произведение равно 1:

$\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$

Подставим это значение в наше неравенство:

$\text{tg}^2\alpha - 2 \cdot 1 + \text{ctg}^2\alpha \ge 0$

$\text{tg}^2\alpha - 2 + \text{ctg}^2\alpha \ge 0$

Перенесем -2 из левой части неравенства в правую, изменив знак на противоположный:

$\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha \ge 2$

Таким образом, мы доказали исходное неравенство.

Равенство достигается тогда, когда выражение в скобках равно нулю:

$\text{tg}\alpha - \text{ctg}\alpha = 0$

$\text{tg}\alpha = \text{ctg}\alpha$

$\text{tg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$

$\text{tg}^2\alpha = 1$

Это означает, что $|\text{tg}\alpha| = 1$, что справедливо для углов $\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n$ - любое целое число. В этих точках значение выражения $\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha$ будет равно $1+1=2$. Во всех остальных точках из области определения оно будет строго больше 2.