Номер 9.21, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.21. Найдите $\sin\alpha + \cos\alpha$, если $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4}$ и $3\pi < \alpha < 3,5\pi$.

Обозначим искомое выражение $ \sin\alpha + \cos\alpha $ через $ x $.

$ x = \sin\alpha + \cos\alpha $

Для того чтобы найти $ x $, возведем обе части этого равенства в квадрат:

$ x^2 = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:

$ x^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ x^2 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha $

$ x^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha $

По условию задачи нам известно, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{4} $. Подставим это значение в полученное уравнение:

$ x^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{2}{4} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $

Из этого уравнения следует, что $ x $ может иметь два возможных значения: $ x = \sqrt{\frac{3}{2}} $ или $ x = -\sqrt{\frac{3}{2}} $.

Чтобы определить правильный знак, проанализируем интервал, которому принадлежит угол $ \alpha $: $ 3\pi < \alpha < 3,5\pi $.

Интервал $ (3\pi, 3,5\pi) $ соответствует третьей координатной четверти на единичной окружности (так как $ 3\pi $ соответствует $ \pi $, а $ 3,5\pi $ соответствует $ \frac{3\pi}{2} $). В третьей четверти значения синуса и косинуса отрицательны:

$ \sin\alpha < 0 $ и $ \cos\alpha < 0 $

Следовательно, сумма двух отрицательных чисел также является отрицательным числом:

$ x = \sin\alpha + \cos\alpha < 0 $

Таким образом, из двух возможных решений мы выбираем отрицательное:

$ x = -\sqrt{\frac{3}{2}} $

Для получения окончательного ответа упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$ x = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2} $

9.21. Ответ: $ -\frac{\sqrt{6}}{2} $