Номер 9.14, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.14. Найдите значение выражения:

$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\cos\alpha + 2\sin\alpha}$, зная, что $\text{tg}\alpha = 7;

$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, зная, что $\text{ctg}\alpha = 0,75.

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\cos\alpha + 2\sin\alpha}$, зная, что $\text{tg}\,\alpha = 7$, преобразуем дробь, разделив ее числитель и знаменатель на $\cos\alpha$. Это действие допустимо, поскольку, если бы $\cos\alpha = 0$, тангенс был бы не определен, что противоречит условию.
$\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\cos\alpha + 2\sin\alpha} = \frac{\frac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{3\cos\alpha + 2\sin\alpha}{\cos\alpha}} = \frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$
По определению тангенса $\text{tg}\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, поэтому выражение можно переписать как:
$\frac{2\text{tg}\,\alpha - 3}{3 + 2\text{tg}\,\alpha}$
Подставим известное значение $\text{tg}\,\alpha = 7$ в полученное выражение:
$\frac{2 \cdot 7 - 3}{3 + 2 \cdot 7} = \frac{14 - 3}{3 + 14} = \frac{11}{17}$
Ответ: $\frac{11}{17}$

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}$, зная, что $\text{ctg}\,\alpha = 0,75$, преобразуем дробь, разделив ее числитель и знаменатель на $\sin^2\alpha$. Это действие допустимо, поскольку, если бы $\sin\alpha = 0$, котангенс был бы не определен, что противоречит условию.
$\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha \cos\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$
По определению котангенса $\text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, поэтому выражение можно переписать как:
$\frac{\text{ctg}\,\alpha}{1 - \text{ctg}^2\alpha}$
Представим значение котангенса в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{3}{4}$.
Подставим это значение в полученное выражение:
$\frac{\frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7} = \frac{12}{7}$
Так как полученная дробь неправильная, выделим из нее целую часть: $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$.
Ответ: 1$\frac{5}{7}$