Номер 9.10, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.10. Упростите выражение $\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1}$.

Для того чтобы упростить данное тригонометрическое выражение, мы последовательно преобразуем его числитель и знаменатель, используя основные тригонометрические тождества.

1. Упрощение числителя: $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1$

   Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

   Возведем обе части этого тождества в квадрат:

   $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 = 1^2$

   Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

   $\sin^4 \alpha + 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha = 1$

   Из этого равенства выразим сумму $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha$:

   $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

   Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:

   $(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 1 = (1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 1 = -2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$

   Таким образом, числитель равен $-2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$.

2. Упрощение знаменателя: $\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1$

   Знаменатель представляет собой полный квадрат. Если мы рассмотрим $\sin^2 \alpha$ как переменную, например $x$, то выражение примет вид $x^2 - 2x + 1$. Это известная формула квадрата разности: $(x-1)^2$.

   Возвращаясь к нашему выражению, мы можем записать:

   $\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1 = (\sin^2 \alpha - 1)^2$

   Из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, мы можем выразить $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$.

   Подставим это в наше выражение для знаменателя:

   $(\sin^2 \alpha - 1)^2 = (-\cos^2 \alpha)^2 = \cos^4 \alpha$

   Таким образом, знаменатель равен $\cos^4 \alpha$. Область допустимых значений выражения определяется условием $\cos^4 \alpha \neq 0$, то есть $\cos \alpha \neq 0$.

3. Итоговое упрощение

   Теперь, когда мы упростили числитель и знаменатель, подставим их обратно в исходную дробь:

   $$ \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^4 \alpha - 2\sin^2 \alpha + 1} = \frac{-2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} $$

   Сократим дробь на $\cos^2 \alpha$ (что возможно, так как мы установили, что $\cos \alpha \neq 0$):

   $$ \frac{-2\sin^2 \alpha \cdot \cancel{\cos^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \cancel{\cos^2 \alpha}} = \frac{-2\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$

   Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, мы можем записать частное квадратов синуса и косинуса как квадрат тангенса:

   $$ -2 \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = -2\tan^2 \alpha $$

9.10. Ответ: $-2\tan^2 \alpha$