Номер 9.18, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.18. Найдите значение выражения $A = \frac{\cos\alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} + \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\sin\alpha}$, зная, что $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и свойства модуля числа.

Сначала упростим выражения под корнем в знаменателе первой дроби и в числителе второй дроби.

Из основного тригонометрического тождества следует:

$1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$

$1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$

Подставим это в исходное выражение A:

$A = \frac{\cos\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha}} + \frac{\sqrt{\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}$

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Применим это свойство к нашему выражению:

$A = \frac{\cos\alpha}{|\cos\alpha|} + \frac{|\sin\alpha|}{\sin\alpha}$

Теперь нам нужно определить знаки $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, чтобы раскрыть модули. По условию, угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это третья координатная четверть.

В третьей четверти и косинус, и синус отрицательны:

$\cos\alpha < 0$

$\sin\alpha < 0$

Так как значения функций отрицательны, модули раскрываются со знаком минус:

$|\cos\alpha| = -\cos\alpha$

$|\sin\alpha| = -\sin\alpha$

Подставим эти значения в выражение для A:

$A = \frac{\cos\alpha}{-\cos\alpha} + \frac{-\sin\alpha}{\sin\alpha}$

Теперь сократим дроби. Так как $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$ в третьей четверти, мы можем это сделать:

$A = -1 + (-1)$

$A = -2$

9.18. Ответ: -2