Номер 9.23, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.23. Зная, что $tg^2 \\alpha + 25 = 10tg \\alpha$, найдите значение выражения $\\frac{\\sin \\alpha - 2\\cos \\alpha}{\\cos \\alpha + \\sin \\alpha}$.

Для решения задачи сначала найдем значение $tg\alpha$ из данного уравнения. Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $tg\alpha$:

$$ tg^2\alpha + 25 = 10tg\alpha $$

$$ tg^2\alpha - 10tg\alpha + 25 = 0 $$

Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = tg\alpha$ и $b = 5$.

$$ (tg\alpha)^2 - 2 \cdot (tg\alpha) \cdot 5 + 5^2 = 0 $$

$$ (tg\alpha - 5)^2 = 0 $$

Из этого уравнения следует, что основание степени равно нулю:

$$ tg\alpha - 5 = 0 $$

Отсюда находим значение тангенса:

$$ tg\alpha = 5 $$

Теперь преобразуем выражение, значение которого необходимо найти. Поскольку мы знаем значение $tg\alpha$, а $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}$, целесообразно привести данное выражение к виду, содержащему только $tg\alpha$. Для этого разделим и числитель, и знаменатель дроби на $cos\alpha$. Эта операция допустима, так как $tg\alpha$ определен и равен 5, следовательно $cos\alpha \neq 0$.

$$ \frac{sin\alpha - 2cos\alpha}{cos\alpha + sin\alpha} = \frac{\frac{sin\alpha - 2cos\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos\alpha + sin\alpha}{cos\alpha}} = \frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} - \frac{2cos\alpha}{cos\alpha}}{\frac{cos\alpha}{cos\alpha} + \frac{sin\alpha}{cos\alpha}} $$

Заменив $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ на $tg\alpha$ и сократив дроби, получим:

$$ \frac{tg\alpha - 2}{1 + tg\alpha} $$

На последнем шаге подставим найденное значение $tg\alpha = 5$ в преобразованное выражение:

$$ \frac{5 - 2}{1 + 5} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

Полученная дробь $\frac{1}{2}$ является правильной, поэтому выделение целой части не требуется.

Ответ: $\frac{1}{2}$