Номер 9.8, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.8. Упростите выражение:

а) $\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1}{\cot\alpha - \sin\alpha \cos\alpha}$;

б) $\frac{1 - \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\tan^2 \alpha}$;

В) $\frac{\cos^2 \alpha - \cot^2 \alpha + 1}{\sin^2 \alpha + \tan^2 \alpha - 1}$;

Г) $\sin^2 \alpha + \frac{1}{(\sin\alpha \tan\alpha + \cos\alpha)^2}$.

а) Преобразуем числитель и знаменатель дроби $\frac{(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1}{\text{ctg}\alpha - \sin\alpha\cos\alpha}$.

Числитель: раскроем скобки по формуле квадрата суммы и используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha - 1 = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha - 1 = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Знаменатель: заменим котангенс по определению $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ и вынесем общий множитель.

$\text{ctg}\alpha - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \sin\alpha\cos\alpha = \frac{\cos\alpha - \sin^2\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\cos\alpha(1 - \sin^2\alpha)}{\sin\alpha}$.

Используя тождество $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$\frac{\cos\alpha \cdot \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}$.

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\frac{\cos^3\alpha}{\sin\alpha}} = 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha\cos\alpha}{\cos^3\alpha} = \frac{2\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = 2\text{tg}^2\alpha$.

Ответ: $2\text{tg}^2\alpha$.

б) Упростим выражение $\frac{1 - \cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\text{tg}^2\alpha}$.

Преобразуем числитель: $1 - (\cos^4\alpha + \sin^4\alpha)$.

Выражение в скобках можно представить следующим образом, используя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos^4\alpha + \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha)^2 + (\sin^2\alpha)^2 = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Подставим это обратно в числитель:

$1 - (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) = 1 - 1 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

Знаменатель равен $\text{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 2\cos^4\alpha$.

Ответ: $2\cos^4\alpha$.

в) Упростим выражение $\frac{\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha + 1}{\sin^2\alpha + \text{tg}^2\alpha - 1}$.

Преобразуем числитель, выразив котангенс через синус и косинус:

$\cos^2\alpha - \text{ctg}^2\alpha + 1 = \cos^2\alpha - \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} + 1 = \frac{\cos^2\alpha\sin^2\alpha - \cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Сгруппируем слагаемые в числителе новой дроби и используем тождество $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$:

$\frac{\cos^2\alpha(\sin^2\alpha - 1) + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha(-\cos^2\alpha) + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}$.

Преобразуем знаменатель, сгруппировав слагаемые и используя тождество $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$:

$\sin^2\alpha + \text{tg}^2\alpha - 1 = (\sin^2\alpha - 1) + \text{tg}^2\alpha = -\cos^2\alpha + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{-\cos^4\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{\sin^2\alpha - \cos^4\alpha}{\sin^2\alpha}}{\frac{\sin^2\alpha - \cos^4\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^4\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha - \cos^4\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \text{ctg}^2\alpha$.

Ответ: $\text{ctg}^2\alpha$.

г) Упростим выражение $\sin^2\alpha + \frac{1}{(\sin\alpha\text{tg}\alpha + \cos\alpha)^2}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках в знаменателе, используя определение тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\sin\alpha\text{tg}\alpha + \cos\alpha = \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \cos\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} + \cos\alpha = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\cos\alpha}$.

Применяя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\frac{1}{\cos\alpha}$.

Теперь подставим это в знаменатель исходной дроби:

$(\frac{1}{\cos\alpha})^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Вся дробь принимает вид:

$\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} = \cos^2\alpha$.

Наконец, подставим это в исходное выражение:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Ответ: $1$.