Номер 8.1, страница 42 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.1. Найдите значение выражения:

а) $tg180^\circ - tg45^\circ;$

б) $ctg270^\circ \cdot ctg60^\circ;$

в) $tg2\pi + tg^2 \frac{\pi}{6};$

г) $ctg^2 \frac{\pi}{3} \cdot ctg \frac{\pi}{4} - ctg \frac{\pi}{2};$

д) $tg5\pi + ctg(-\frac{\pi}{6});$

е) $ctg(-\frac{7\pi}{2}) - tg \frac{\pi}{4}.$

а) Для того чтобы найти значение выражения $\text{tg}180^\circ - \text{tg}45^\circ$, необходимо знать табличные значения этих тригонометрических функций.

• Тангенс $180^\circ$ равен $0$, так как $\text{tg}180^\circ = \frac{\sin180^\circ}{\cos180^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$.
• Тангенс $45^\circ$ равен $1$.

Теперь выполним вычитание:

$\text{tg}180^\circ - \text{tg}45^\circ = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.

б) Найдем значение выражения $\text{ctg}270^\circ \cdot \text{ctg}60^\circ$.

Определим значения каждого множителя:

• Котангенс $270^\circ$ равен $0$, так как $\text{ctg}270^\circ = \frac{\cos270^\circ}{\sin270^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$.
• Котангенс $60^\circ$ является табличным значением: $\text{ctg}60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Выполним умножение:

$\text{ctg}270^\circ \cdot \text{ctg}60^\circ = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$.

Ответ: 0.

в) Найдем значение выражения $\text{tg}2\pi + \text{tg}^2\frac{\pi}{6}$.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно:

• Тангенс имеет период $\pi$, поэтому $\text{tg}2\pi = \text{tg}(0 + 2\pi) = \text{tg}0 = 0$.
• Значение тангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) равно $\text{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Возведем тангенс в квадрат: $\text{tg}^2\frac{\pi}{6} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$.

Теперь сложим полученные значения:

$\text{tg}2\pi + \text{tg}^2\frac{\pi}{6} = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Найдем значение выражения $\text{ctg}^2\frac{\pi}{3} \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4} - \text{ctg}\frac{\pi}{2}$.

Определим значения всех тригонометрических функций в выражении:

• $\text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно $\text{ctg}^2\frac{\pi}{3} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$.
• $\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\text{ctg}\frac{\pi}{2} = 0$.

Подставим эти значения в выражение и вычислим результат:

$\text{ctg}^2\frac{\pi}{3} \cdot \text{ctg}\frac{\pi}{4} - \text{ctg}\frac{\pi}{2} = \frac{1}{3} \cdot 1 - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

д) Найдем значение выражения $\text{tg}5\pi + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$.

Используем свойства тригонометрических функций:

• Периодичность тангенса ($T=\pi$): $\text{tg}5\pi = \text{tg}(0 + 5\pi) = \text{tg}0 = 0$.
• Нечетность котангенса ($\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}x$): $\text{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\text{ctg}\frac{\pi}{6}$.

Табличное значение $\text{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Подставим все в исходное выражение:

$\text{tg}5\pi + \text{ctg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 0 - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}$.

е) Найдем значение выражения $\text{ctg}\left(-\frac{7\pi}{2}\right) - \text{tg}\frac{\pi}{4}$.

Используем свойства тригонометрических функций:

• Котангенс - нечетная функция: $\text{ctg}\left(-\frac{7\pi}{2}\right) = -\text{ctg}\left(\frac{7\pi}{2}\right)$.
• Период котангенса равен $\pi$. Представим $\frac{7\pi}{2}$ как $3\pi + \frac{\pi}{2}$. Тогда $\text{ctg}\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \text{ctg}\left(3\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Следовательно, $\text{ctg}\left(-\frac{7\pi}{2}\right) = -0 = 0$.

Значение $\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставим значения в выражение:

$\text{ctg}\left(-\frac{7\pi}{2}\right) - \text{tg}\frac{\pi}{4} = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.