Номер 6, страница 173 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.6. Найдите для числового ряда $1, 2, 3, 4, x$ возможные значения $x$, при которых:

а) выборочное среднее ряда равняется 3;

б) мода равняется 3;

в) медиана равняется 3, зная, что $x$ принимает натуральные значения, не превышающие 10.

Дан числовой ряд: 1, 2, 3, 4, x. Всего в ряду 5 элементов.

а) выборочное среднее ряда равняется 3;

Выборочное среднее (среднее арифметическое) — это сумма всех элементов ряда, деленная на их количество. По условию, оно равно 3. Составим уравнение:

$\frac{1 + 2 + 3 + 4 + x}{5} = 3$

Упростим числитель:

$\frac{10 + x}{5} = 3$

Умножим обе части уравнения на 5:

$10 + x = 15$

Найдем x:

$x = 15 - 10$

$x = 5$

Ответ: 5

б) мода равняется 3;

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. В исходном наборе {1, 2, 3, 4} все числа встречаются по одному разу, поэтому моды нет. Чтобы число 3 стало модой, оно должно встречаться чаще других. Это возможно только в том случае, если $x$ будет равен 3. Тогда ряд примет вид {1, 2, 3, 4, 3}, и число 3 будет встречаться дважды, став модой.

Ответ: 3

в) медиана равняется 3, зная, что x принимает натуральные значения, не превышающие 10.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного (отсортированного по возрастанию) ряда. В ряду 5 элементов (нечетное количество), значит, медиана будет равна 3-му по счету элементу в отсортированном ряду.

По условию, $x$ — натуральное число, и $1 \le x \le 10$.

Рассмотрим возможные значения $x$:

• Если $x < 3$ (т.е. $x=1$ или $x=2$):
  • При $x=1$, отсортированный ряд: {1, 1, 2, 3, 4}. Медиана (3-й элемент) равна 2.
  • При $x=2$, отсортированный ряд: {1, 2, 2, 3, 4}. Медиана (3-й элемент) равна 2.
  Эти значения не подходят.
• Если $x = 3$:
  • Отсортированный ряд: {1, 2, 3, 3, 4}. Медиана (3-й элемент) равна 3. Это значение подходит.
• Если $x > 3$ (т.е. $x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$):
  • В этом случае отсортированный ряд всегда будет начинаться с {1, 2, 3, ...}. Третьим элементом всегда будет число 3, независимо от конкретного значения $x$ (так как $x$ будет стоять на 4-м или 5-м месте). Например, при $x=5$ ряд {1, 2, 3, 4, 5}, медиана - 3. При $x=10$ ряд {1, 2, 3, 4, 10}, медиана - 3.
  Следовательно, все натуральные значения $x$ от 4 до 10 подходят.

Объединив все подходящие значения, получаем, что $x$ может быть любым целым числом от 3 до 10 включительно.

Ответ: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}