Номер 5, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

21.5. Какая средняя характеристика наиболее устойчива к случайным ошибкам при записи данных?

Для оценки центральной тенденции набора данных в статистике используются различные средние характеристики, основными из которых являются среднее арифметическое, медиана и мода. Их устойчивость к случайным ошибкам (выбросам) в данных существенно различается. Рассмотрим каждую из них.

Среднее арифметическое

Это сумма всех значений в наборе данных, деленная на их количество. Формула для расчета среднего арифметического ($ \bar{x} $):$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $Эта характеристика очень чувствительна к выбросам. Даже одна серьезная ошибка при записи данных может значительно исказить результат.
Пример: Возьмем набор данных {5, 7, 8, 9, 11}.
Среднее арифметическое равно $ \frac{5+7+8+9+11}{5} = \frac{40}{5} = 8 $.
Теперь предположим, что при записи последнего числа была допущена ошибка, и вместо 11 записали 110. Новый набор: {5, 7, 8, 9, 110}.
Новое среднее значение: $ \frac{5+7+8+9+110}{5} = \frac{139}{5} = 27.8 $. Как видно, среднее значение сильно изменилось (с 8 до 27.8) из-за одной ошибки.

Мода

Это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Мода, как правило, устойчива к выбросам, поскольку единичная ошибка редко меняет наиболее частое значение. Однако у моды есть недостатки: она может не существовать для некоторых наборов данных (если все значения уникальны), быть не единственной (несколько мод) и часто является не лучшей мерой для числовых данных, особенно если они непрерывные.

Медиана

Это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию или убыванию набор данных на две равные части. Если в наборе нечетное количество элементов, медиана — это центральный элемент. Если четное — среднее арифметическое двух центральных элементов. Медиана является робастной, то есть очень устойчивой к выбросам.
Пример: Вернемся к нашему набору данных {5, 7, 8, 9, 11}. Он уже упорядочен.
Медиана — это центральный (третий) элемент, то есть 8.
Рассмотрим набор с ошибкой: {5, 7, 8, 9, 110}. Он также упорядочен.
Медиана по-прежнему является центральным элементом, и ее значение остается равным 8. Значение медианы совершенно не изменилось, несмотря на очень большую ошибку в одном из крайних значений.

Таким образом, сравнивая три основные средние характеристики, можно заключить, что медиана демонстрирует наибольшую устойчивость к случайным ошибкам при записи данных, так как ее значение определяется положением центральных элементов, а не величиной крайних (часто ошибочных) значений.

Ответ: медиана.