Номер 9, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.9. Найдите множество значений функции $y = \log_{3} (x^{2} + 2x + 28)$.

Для нахождения множества значений функции $y = \log_3(x^2 + 2x + 28)$ необходимо сначала найти множество значений ее аргумента, то есть выражения $g(x) = x^2 + 2x + 28$.

Выражение $g(x) = x^2 + 2x + 28$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=2$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Найдем наименьшее значение функции $g(x)$, подставив $x_0 = -1$ в выражение:

$g_{min} = g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 28 = 1 - 2 + 28 = 27$

Альтернативный способ — выделить полный квадрат:

$x^2 + 2x + 28 = (x^2 + 2x + 1) - 1 + 28 = (x+1)^2 + 27$

Поскольку $(x+1)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$, наименьшее значение выражения достигается при $(x+1)^2=0$ и равно $27$.

Таким образом, множество значений аргумента логарифма — это промежуток $[27; +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \log_3(u)$, где $u = g(x)$ и $u \in [27; +\infty)$.

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_3(u)$ является возрастающей. Это означает, что наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента $u$.

Найдем наименьшее значение функции $y$:

$y_{min} = \log_3(27) = \log_3(3^3) = 3$

Поскольку $u$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значение $y = \log_3(u)$ также будет стремиться к $+\infty$.

Следовательно, множество значений исходной функции — это промежуток от $3$ включительно до $+\infty$.

Ответ: множество значений функции — $[\textbf{3}; +\infty)$.