Номер 14, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите число целых корней уравнения $\frac{3x^2+11x+6}{8+10x-3x^2} = \frac{x+3}{4-x}$ на промежутке $[2;15]$.

Для решения данного уравнения сначала определим его область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в уравнении не должны быть равны нулю.

1. Знаменатель правой части: $4 - x \neq 0$, откуда получаем $x \neq 4$.

2. Знаменатель левой части: $8 + 10x - 3x^2 \neq 0$. Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $-3x^2 + 10x + 8 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 8 = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$
$x_2 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot (-3)} = \frac{-24}{-6} = 4$
Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \neq 4$ и $x \neq -\frac{2}{3}$.

Теперь упростим левую часть уравнения, разложив на множители числитель и знаменатель. Для числителя $3x^2 + 11x + 6$ найдем корни уравнения $3x^2 + 11x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6 = 121 - 72 = 49 = 7^2$.
Корни:
$x_1 = \frac{-11 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$
$x_2 = \frac{-11 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$
Следовательно, числитель можно разложить на множители: $3x^2 + 11x + 6 = 3(x - (-3))(x - (-\frac{2}{3})) = 3(x+3)(x+\frac{2}{3}) = (x+3)(3x+2)$.

Знаменатель $8 + 10x - 3x^2$ мы уже раскладывали при поиске ОДЗ: $8 + 10x - 3x^2 = -3(x-4)(x+\frac{2}{3}) = (4-x)(3x+2)$.

Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:
$\frac{(x+3)(3x+2)}{(4-x)(3x+2)} = \frac{x+3}{4-x}$

В области допустимых значений ($x \neq -\frac{2}{3}$ и $x \neq 4$), мы можем сократить дробь в левой части на множитель $(3x+2)$:
$\frac{x+3}{4-x} = \frac{x+3}{4-x}$

Полученное равенство является тождеством, то есть оно верно для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, решениями уравнения являются все действительные числа, за исключением $x = 4$ и $x = -\frac{2}{3}$.

Теперь найдем, сколько целых корней уравнения лежит на промежутке $[2; 15]$. Целые числа, принадлежащие данному промежутку, это: $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$. Всего таких чисел $15 - 2 + 1 = 14$.

Из этого набора целых чисел необходимо исключить те, которые не входят в ОДЗ. Значение $x = -\frac{2}{3}$ не является целым. Значение $x = 4$ является целым и принадлежит промежутку $[2; 15]$, поэтому его нужно исключить.

Таким образом, целыми корнями уравнения на заданном промежутке являются числа: $2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15$.

Их количество равно $14 - 1 = 13$.

14. Найдите число целых корней уравнения $\frac{3x^2+11x+6}{8+10x-3x^2}=\frac{x+3}{4-x}$ на промежутке $[2;15]$. Ответ: 13