Номер 12, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Найдите произведение корней уравнения $(x^2 + 2x)^2 - (x+1)^2 = 55$.

Данное уравнение: $(x^2 + 2x)^2 - (x + 1)^2 = 55$.

Для упрощения решения воспользуемся методом замены переменной. Обратим внимание, что выражение в первой скобке связано со второй. Раскроем вторую скобку по формуле квадрата суммы: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Отсюда видно, что $x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$.

Введем замену: пусть $y = (x+1)^2$. Тогда $x^2 + 2x = y - 1$. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(y - 1)^2 - y = 55$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 2y + 1 - y = 55$

$y^2 - 3y - 54 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней $y_1 + y_2 = 3$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -54$. Методом подбора находим, что корнями являются числа $9$ и $-6$.

$y_1 = 9$

$y_2 = -6$

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти корни исходного уравнения по $x$.

1. Случай $y=9$:

$(x+1)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$x+1 = 3$ или $x+1 = -3$

Отсюда находим два действительных корня:

$x_1 = 2$

$x_2 = -4$

2. Случай $y=-6$:

$(x+1)^2 = -6$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений в действительных числах. Однако оно имеет два комплексно-сопряженных корня:

$x+1 = \pm\sqrt{-6} = \pm i\sqrt{6}$

Отсюда находим еще два корня:

$x_3 = -1 + i\sqrt{6}$

$x_4 = -1 - i\sqrt{6}$

Исходное уравнение является уравнением четвертой степени и имеет четыре корня: $2, -4, -1+i\sqrt{6}, -1-i\sqrt{6}$.

По условию задачи, нам нужно найти произведение всех этих корней:

$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 = (2) \cdot (-4) \cdot (-1 + i\sqrt{6}) \cdot (-1 - i\sqrt{6})$

Вычислим произведение:

$(2) \cdot (-4) = -8$

$(-1 + i\sqrt{6}) \cdot (-1 - i\sqrt{6}) = (-1)^2 - (i\sqrt{6})^2 = 1 - (i^2 \cdot 6) = 1 - (-1 \cdot 6) = 1 + 6 = 7$

Итоговое произведение: $(-8) \cdot 7 = -56$.

Произведение корней уравнения: Ответ: -56