Номер 3, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

3. Решите неравенство

$ \frac{7x-2}{3} \le 3 - \frac{1-x}{2} - \frac{2x-7}{6}. $

а) $(-\infty; 2];$

б) $(-\infty; 0,2];$

в) $(-\infty; \frac{6}{7}];$

г) $[2; +\infty);$

д) $[0,2; +\infty).$

Для решения данного неравенства приведем все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 2 и 6 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6, чтобы избавиться от дробей:

$ 6 \cdot \frac{7x-2}{3} \le 6 \cdot 3 - 6 \cdot \frac{1-x}{2} - 6 \cdot \frac{2x-7}{6} $

После сокращения дробей получаем:

$ 2(7x-2) \le 18 - 3(1-x) - (2x-7) $

Теперь раскроем скобки. Важно обратить внимание на знаки при раскрытии скобок, перед которыми стоит минус:

$ 14x - 4 \le 18 - 3 + 3x - 2x + 7 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в правой части неравенства:

$ 14x - 4 \le (18 - 3 + 7) + (3x - 2x) $

$ 14x - 4 \le 22 + x $

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные слагаемые — в правую. При переносе через знак неравенства меняем знак слагаемого на противоположный:

$ 14x - x \le 22 + 4 $

Упростим обе части:

$ 13x \le 26 $

Разделим обе части неравенства на положительное число 13. Знак неравенства при этом не изменяется:

$ x \le \frac{26}{13} $

$ x \le 2 $

Решением неравенства является числовой промежуток от минус бесконечности до 2, включая точку 2. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 2]$. Данный результат соответствует варианту а).

а) Ответ: $(-\infty; 2]$