Номер 15, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15. Найдите сумму корней уравнения $\frac{x^2-x+1}{x-1} + \frac{x^2-3x+1}{x-3} = 2x - \frac{1}{4x-8}$

Исходное уравнение: $ \frac{x^2-x+1}{x-1} + \frac{x^2-3x+1}{x-3} = 2x - \frac{1}{4x-8} $.

Для упрощения левой части уравнения выделим целую часть в каждой дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель.

Для первой дроби:

$$ \frac{x^2-x+1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = x + \frac{1}{x-1} $$

Для второй дроби:

$$ \frac{x^2-3x+1}{x-3} = \frac{x(x-3)+1}{x-3} = x + \frac{1}{x-3} $$

После подстановки преобразованных дробей в исходное уравнение оно принимает вид:

$$ \left(x + \frac{1}{x-1}\right) + \left(x + \frac{1}{x-3}\right) = 2x - \frac{1}{4x-8} $$

Суммируем $x$ в левой части и вычитаем $2x$ из обеих частей уравнения. Также разложим на множители знаменатель в правой части:

$$ 2x + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} = 2x - \frac{1}{4(x-2)} $$

$$ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3} = - \frac{1}{4(x-2)} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия, что знаменатели не должны быть равны нулю: $x-1 \neq 0$, $x-3 \neq 0$, $4(x-2) \neq 0$. Следовательно, $x \neq 1$, $x \neq 3$, $x \neq 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$$ \frac{(x-3) + (x-1)}{(x-1)(x-3)} = - \frac{1}{4(x-2)} $$

$$ \frac{2x-4}{(x-1)(x-3)} = - \frac{1}{4(x-2)} \implies \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-3)} = - \frac{1}{4(x-2)} $$

Применяем правило пропорции (перекрестное умножение), так как по ОДЗ $x-2 \neq 0$:

$$ 2(x-2) \cdot 4(x-2) = -1 \cdot (x-1)(x-3) $$

$$ 8(x-2)^2 = -(x^2 - 4x + 3) $$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$$ 8(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 4x + 3) = 0 $$

$$ 8x^2 - 32x + 32 + x^2 - 4x + 3 = 0 $$

$$ 9x^2 - 36x + 35 = 0 $$

Для нахождения корней вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 35 = 1296 - 1260 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$$ x_{1,2} = \frac{-(-36) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 9} = \frac{36 \pm 6}{18} $$

Найдем корни и представим их в виде смешанных чисел. Оба корня входят в ОДЗ.

Первый корень: Ответ: $x_1 = \frac{36+6}{18} = \frac{42}{18} = \frac{7}{3} = $ 2$\frac{1}{3}$

Второй корень: Ответ: $x_2 = \frac{36-6}{18} = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} = $ 1$\frac{2}{3}$

Теперь найдем сумму корней, как требуется в условии задачи. Это можно сделать как прямым сложением найденных корней, так и по теореме Виета ($x_1+x_2 = -b/a = -(-36)/9 = 4$).

Сумма корней уравнения: Ответ: $4$