Номер 5, страница 189 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Решите систему неравенств

$$\begin{cases}\frac{x+12}{5} + \frac{9+x}{6} \ge x+2, \\\frac{x+5}{2} + \frac{15-x}{7} < x.\end{cases}$$

а) $(-\infty; 3];$

б) $(7\frac{2}{9}; +\infty);$

в) $(-\infty; +\infty);$

г) $(-\infty; 3] \cup (7\frac{2}{9}; +\infty);$

д) нет решений.

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

$\frac{x+12}{5} + \frac{9+x}{6} \ge x+2$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 30:

$30 \cdot \frac{x+12}{5} + 30 \cdot \frac{9+x}{6} \ge 30(x+2)$

$6(x+12) + 5(9+x) \ge 30x + 60$

Раскроем скобки:

$6x + 72 + 45 + 5x \ge 30x + 60$

Приведем подобные слагаемые:

$11x + 117 \ge 30x + 60$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$117 - 60 \ge 30x - 11x$

$57 \ge 19x$

Разделим обе части на 19:

$3 \ge x$, или $x \le 3$

Ответ: Решением первого неравенства является промежуток $x \in (-\infty; 3]$.

$\frac{x+5}{2} + \frac{15-x}{7} < x$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель 14:

$14 \cdot \frac{x+5}{2} + 14 \cdot \frac{15-x}{7} < 14x$

$7(x+5) + 2(15-x) < 14x$

Раскроем скобки:

$7x + 35 + 30 - 2x < 14x$

Приведем подобные слагаемые:

$5x + 65 < 14x$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть:

$65 < 14x - 5x$

$65 < 9x$

Разделим обе части на 9:

$x > \frac{65}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{65}{9} = 7\frac{2}{9}$.

Ответ: Решением второго неравенства является промежуток $x \in (7\frac{2}{9}; +\infty)$.

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств, то есть множество всех $x$, удовлетворяющих одновременно условиям $x \le 3$ и $x > 7\frac{2}{9}$.

Поскольку $3 < 7\frac{2}{9}$, не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно меньше или равно 3 и строго больше $7\frac{2}{9}$. Следовательно, пересечение этих множеств пустое.

Ответ: д) нет решений.