Номер 9, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Найдите все корни уравнения

$\frac{1}{3x - 2 - x^2} = \frac{3}{7x - 4 - 3x^2}$

а) 1;

б) $-1\frac{1}{3}$; 1; 2;

в) нет корней;

г) любое число;

д) -4.

Исходное уравнение: $$ \frac{1}{3x - 2 - x^2} = \frac{3}{7x - 4 - 3x^2} $$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения в первую очередь необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ) — это те значения переменной x, при которых знаменатели дробей не обращаются в ноль.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)
Найдем значения x, при которых каждый знаменатель равен нулю, и исключим их.
а) $3x - 2 - x^2 = 0$
Умножим уравнение на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

б) $7x - 4 - 3x^2 = 0$
Умножим уравнение на -1:
$3x^2 - 7x + 4 = 0$
Найдем корни с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 1}{6}$
$x_1 = \frac{7+1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{7-1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
Значит, $x \neq 1$ и $x \neq \frac{4}{3}$.

Объединив все условия, получаем, что область допустимых значений исключает точки $x=1$, $x=2$ и $x=\frac{4}{3}$.

2. Решение уравнения
Теперь решим само уравнение, используя основное свойство пропорции (приравнивая произведение крайних членов к произведению средних): $$ 1 \cdot (7x - 4 - 3x^2) = 3 \cdot (3x - 2 - x^2) $$ Раскрываем скобки в обеих частях уравнения: $$ 7x - 4 - 3x^2 = 9x - 6 - 3x^2 $$ Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются. Перенесем их для наглядности: $$ -3x^2 + 3x^2 + 7x - 9x = -6 + 4 $$ Упрощаем выражение: $$ -2x = -2 $$ Делим обе части на -2: $$ x = 1 $$

3. Проверка корня и вывод
Мы получили единственный корень $x=1$. Однако этот корень необходимо проверить на принадлежность к ОДЗ.
Как мы установили ранее, ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq 2$, $x \neq \frac{4}{3}$.
Поскольку значение $x=1$ не входит в область допустимых значений (при $x=1$ оба знаменателя обращаются в нуль), оно является посторонним корнем и не может быть решением уравнения.
Так как других корней нет, исходное уравнение не имеет решений.

в) Ответ: нет корней.