Номер 7, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите сумму корней уравнения

$(6x - 14)^9 = (x - 1)^{18}$.

а) 2;

б) -15;

в) 8;

г) -8;

д) 15.

Дано уравнение:

$(6x - 14)^9 = (x - 1)^{18}$

Для решения данного уравнения преобразуем его правую часть. Заметим, что $18 = 9 \cdot 2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, мы можем переписать правую часть следующим образом:

$(x - 1)^{18} = ((x - 1)^2)^9$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(6x - 14)^9 = ((x - 1)^2)^9$

Поскольку показатели степени с обеих сторон уравнения равны и являются нечетным числом (9), мы можем приравнять выражения в основаниях степеней:

$6x - 14 = (x - 1)^2$

Теперь раскроем скобки в правой части, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$6x - 14 = x^2 - 2x + 1$

Соберем все члены уравнения в одной части, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 2x - 6x + 1 + 14 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Сумму корней полученного квадратного уравнения можно найти с помощью теоремы Виета. Согласно этой теореме, для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ сумма корней $x_1 + x_2$ равна $-b/a$.

В нашем уравнении коэффициенты следующие: $a = 1$, $b = -8$, $c = 15$.

Вычислим сумму корней:

$x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-8}{1} = 8$

Сумма корней уравнения: Ответ: 8