Номер 10, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите сумму корней уравнения $3x + x^2 = \left(\frac{x^2+3x}{2}\right)^2$.

Для решения данного уравнения заметим, что выражение $x^2 + 3x$ повторяется в левой и правой частях. Это позволяет использовать метод замены переменной для упрощения.

Пусть $t = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение $3x + x^2 = \left(\frac{x^2 + 3x}{2}\right)^2$ можно переписать в виде:

$t = \left(\frac{t}{2}\right)^2$

Теперь решим это уравнение относительно переменной $t$:

$t = \frac{t^2}{4}$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4t = t^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$t^2 - 4t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t - 4) = 0$

Это уравнение имеет два решения для $t$: $t_1 = 0$ и $t_2 = 4$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого из найденных значений $t$, чтобы найти корни исходного уравнения по $x$.

Случай 1: $t = 0$

Подставляем это значение в уравнение замены $t = x^2 + 3x$:

$x^2 + 3x = 0$

Выносим $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.

Случай 2: $t = 4$

Подставляем второе значение $t$:

$x^2 + 3x = 4$

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком ($-3$), а их произведение равно свободному члену ($-4$). Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-4$.

Таким образом, получаем еще два корня: $x_3 = 1$ и $x_4 = -4$.

В итоге, исходное уравнение имеет четыре различных корня: $0, -3, 1, -4$.

По условию задачи требуется найти сумму всех корней уравнения:

Сумма = $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 + (-3) + 1 + (-4) = -3 + 1 - 4 = -6$.

Сумма корней уравнения: Ответ: -6.