Номер 11, страница 188 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите сумму корней уравнения $(x^2 - 2x + 6)^2 = 9x^2$.

Данное уравнение $(x^2 - 2x + 6)^2 = 9x^2$ можно преобразовать, представив правую часть в виде квадрата.

$9x^2 = (3x)^2$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$(x^2 - 2x + 6)^2 = (3x)^2$

Это уравнение вида $A^2 = B^2$, которое равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. В нашем случае $A = x^2 - 2x + 6$ и $B = 3x$.

Рассмотрим оба случая, на которые распадается уравнение.

Случай 1:

$x^2 - 2x + 6 = 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3x + 6 = 0$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Для нахождения суммы корней воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $x_1 + x_2$ для приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком. Таким образом, сумма корней этого уравнения равна $5$.

Случай 2:

$x^2 - 2x + 6 = -3x$

Снова перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 2x + 3x + 6 = 0$

$x^2 + x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $x_3 + x_4$ этого уравнения равна $-1$. (Следует отметить, что дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$ отрицателен, поэтому уравнение не имеет действительных корней. Однако оно имеет два комплексных сопряженных корня, и их сумма также находится по теореме Виета).

Сумма всех корней исходного уравнения равна сумме корней, найденных в обоих случаях.

Общая сумма = (сумма корней из случая 1) + (сумма корней из случая 2) = $5 + (-1) = 4$.

Сумма корней уравнения Ответ: 4