Номер 6, страница 190 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Решите неравенство $ \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \le 2. $

а) $ (-\infty; -2] \cup (-1; +\infty); $

б) $ [-2; -1); $

в) $ [-2; +\infty); $

г) $ (-\infty; -2] \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty); $

д) $ (-1; 2]. $

Для решения данного неравенства выполним следующие шаги:

$$ \frac{1}{1+\frac{1}{x}} \le 2 $$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). В знаменателе не может быть нуля. Это приводит к двум условиям:

- $x \neq 0$

- $1 + \frac{1}{x} \neq 0$. Решим это уравнение: $\frac{1}{x} \neq -1$, что означает $x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Упростим левую часть неравенства. Приведем выражение $1 + \frac{1}{x}$ к общему знаменателю:

$$ 1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $$

Подставим это в исходное неравенство:

$$ \frac{1}{\frac{x+1}{x}} \le 2 $$

Это эквивалентно (при $x \neq 0$):

$$ \frac{x}{x+1} \le 2 $$

3. Решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все в левую часть, чтобы сравнить с нулем:

$$ \frac{x}{x+1} - 2 \le 0 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{x - 2(x+1)}{x+1} \le 0 $$

$$ \frac{x - 2x - 2}{x+1} \le 0 $$

$$ \frac{-x - 2}{x+1} \le 0 $$

Чтобы избавиться от минуса в числителе, умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$$ \frac{x + 2}{x+1} \ge 0 $$

4. Применим метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю:

- Нуль числителя: $x + 2 = 0 \implies x = -2$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение (закрашенная точка).

- Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Эта точка всегда исключается из решения (выколотая точка), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак выражения $\frac{x+2}{x+1}$ в каждом из трех интервалов:

- При $x \in (-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, $\frac{-3+2}{-3+1} = \frac{-1}{-2} > 0$. Знак `+`.

- При $x \in (-2; -1)$: возьмем $x=-1.5$, $\frac{-1.5+2}{-1.5+1} = \frac{0.5}{-0.5} < 0$. Знак `-`.

- При $x \in (-1; +\infty)$: возьмем $x=1$, $\frac{1+2}{1+1} = \frac{3}{2} > 0$. Знак `+`.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю (знак `+`). Это $x \in (-\infty; -2] \cup (-1; +\infty)$.

5. Учтем ОДЗ. Полученное решение $x \in (-\infty; -2] \cup (-1; +\infty)$ нужно пересечь с ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 0$.

Точка $x=-1$ уже исключена. Необходимо исключить точку $x=0$ из интервала $(-1; +\infty)$. Таким образом, этот интервал разбивается на два: $(-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Окончательное решение:

$$ x \in (-\infty; -2] \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty) $$

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это ответ г).

г) Ответ: $(-\infty; -2] \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$