Номер 5, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Найдите значение выражения

$x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2$, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $3x^2 + 5x - 1 = 0$.

a) $-1;$

б) $\frac{31}{9};$

в) $\frac{31}{81};$

г) $25;$

д) $\frac{31}{27}$.

Для нахождения значения выражения воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

В заданном уравнении $3x^2 + 5x - 1 = 0$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = 5$, $c = -1$.

Тогда сумма и произведение корней равны:

$x_1 + x_2 = -\frac{5}{3}$

$x_1 x_2 = -\frac{1}{3}$

Теперь преобразуем исходное выражение $x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2$. Для этого вынесем за скобки общий множитель $x_1^2 x_2^2$:

$x_1^2 x_2^4 + x_1^4 x_2^2 = x_1^2 x_2^2 (x_2^2 + x_1^2) = (x_1 x_2)^2 (x_1^2 + x_2^2)$

Нам необходимо выразить сумму квадратов корней $(x_1^2 + x_2^2)$ через известные нам сумму и произведение корней. Используем формулу квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$

Отсюда выражаем $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Подставим значения суммы и произведения корней, которые мы нашли ранее:

$x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{25}{9} + \frac{2}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 9:

$\frac{25}{9} + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{25}{9} + \frac{6}{9} = \frac{31}{9}$

Теперь мы можем вычислить значение всего выражения, подставив найденные значения $(x_1 x_2)$ и $(x_1^2 + x_2^2)$:

$(x_1 x_2)^2 (x_1^2 + x_2^2) = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{31}{9}\right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{31}{9} = \frac{31}{81}$

Итоговое значение выражения равно $\frac{31}{81}$. Сравнив с предложенными вариантами, видим, что это ответ в).

а) -1; Ответ: -1

б) $\frac{31}{9}$; Ответ: 3

в) $\frac{31}{81}$; Ответ: 0

г) 25; Ответ: 25

д) $\frac{31}{27}$. Ответ: 1