Номер 4, страница 187 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Решите уравнение

$\frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2-12}$

а) -2; 2;

б) -3; $\frac{2}{3}$;

В) $-\frac{2}{3}$; 3;

Г) 6;

Д) $-2\frac{2}{3}$.

Для решения уравнения $ \frac{1}{2-x} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12} $ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в уравнении не должны равняться нулю.
$2-x \neq 0 \implies x \neq 2$
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$3x^2 - 12 \neq 0 \implies 3(x^2 - 4) \neq 0 \implies 3(x-2)(x+2) \neq 0$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь преобразуем уравнение для его упрощения. Заметим, что знаменатель первой дроби $2-x$ можно представить как $-(x-2)$. $$ \frac{1}{-(x-2)} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12} $$ $$ -\frac{1}{x-2} - 1 = \frac{1}{x-2} - \frac{6-x}{3x^2 - 12} $$ Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы сгруппировать их: $$ 0 = \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x^2 - 4)} $$ $$ \frac{2}{x-2} + 1 - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $3(x-2)(x+2)$: $$ \frac{2 \cdot 3(x+2)}{3(x-2)(x+2)} + \frac{1 \cdot 3(x-2)(x+2)}{3(x-2)(x+2)} - \frac{6-x}{3(x-2)(x+2)} = 0 $$ Поскольку знаменатель не равен нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числитель к нулю: $$ 6(x+2) + 3(x^2-4) - (6-x) = 0 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение: $$ 6x + 12 + 3x^2 - 12 - 6 + x = 0 $$ $$ 3x^2 + 7x - 6 = 0 $$ Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$ D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 $.
$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.

Оба найденных корня ($x_1 = -3$ и $x_2 = \frac{2}{3}$) удовлетворяют области допустимых значений ($x \neq 2$ и $x \neq -2$). Следовательно, они являются решениями исходного уравнения. Данный набор корней соответствует варианту ответа б).

б) Ответ: $-3; \frac{2}{3}$.