Номер 9.5, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.5. Найдите $ \sin\alpha $; $ \operatorname{tg}\alpha $; $ \operatorname{ctg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+1}} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.

По условию задачи, угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в IV (четвертой) координатной четверти. Для углов в этой четверти характерны следующие знаки тригонометрических функций:

• $\sin\alpha < 0$ (синус отрицательный)
• $\cos\alpha > 0$ (косинус положительный)
• $\operatorname{tg}\alpha < 0$ (тангенс отрицательный)
• $\operatorname{ctg}\alpha < 0$ (котангенс отрицательный)

Нам дано значение косинуса: $\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}$. Так как в IV четверти косинус положителен, а знаменатель дроби $\sqrt{a^2+1}$ всегда положителен, то и числитель $a$ должен быть положительным ($a>0$).

Для нахождения синуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\sin^2\alpha$ и подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}\right)^2 = 1 - \frac{a^2}{a^2 + 1}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\sin^2\alpha = \frac{a^2 + 1 - a^2}{a^2 + 1} = \frac{1}{a^2 + 1}$

Извлекая корень, находим: $\sin\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}$.
Учитывая, что в IV четверти синус отрицателен, выбираем знак "минус".

sinα; Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$

Тангенс находим по определению: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Подставляем известные значения:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{-\frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}}{\frac{a}{\sqrt{a^2 + 1}}} = -\frac{1}{a}$

tgα; Ответ: $-\frac{1}{a}$

Котангенс является обратной величиной к тангенсу: $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$.
Подставляем найденное значение тангенса:

$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{-1/a} = -a$

ctgα, Ответ: $-a$