Номер 9.3, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9.3. Найдите $ \sin\alpha $; $ \cos\alpha $; $ \operatorname{tg}\alpha $, если $ \operatorname{ctg}\alpha = -3 \frac{3}{7} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

По условию задачи $ctg \alpha = -3\frac{3}{7}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти.

Во второй четверти синус положителен ($sin \alpha > 0$), а косинус и тангенс отрицательны ($cos \alpha < 0$ и $tg \alpha < 0$).

Для вычислений переведем смешанную дробь в неправильную:

$ctg \alpha = -3\frac{3}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{24}{7}$.

sinα

Найдем синус, используя основное тригонометрическое тождество $1 + ctg^2 \alpha = \frac{1}{sin^2 \alpha}$.

$sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + ctg^2 \alpha} = \frac{1}{1 + (-\frac{24}{7})^2} = \frac{1}{1 + \frac{576}{49}} = \frac{1}{\frac{49+576}{49}} = \frac{1}{\frac{625}{49}} = \frac{49}{625}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, $sin \alpha$ положителен, поэтому $sin \alpha = \sqrt{\frac{49}{625}}$.

Ответ: $\frac{7}{25}$.

cosα

Найдем косинус из определения котангенса $ctg \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$, откуда следует, что $cos \alpha = ctg \alpha \cdot sin \alpha$.

Подставим известные и найденные ранее значения: $cos \alpha = (-\frac{24}{7}) \cdot \frac{7}{25}$.

Ответ: $-\frac{24}{25}$.

tgα

Найдем тангенс как величину, обратную котангенсу: $tg \alpha = \frac{1}{ctg \alpha}$.

Подставляем значение котангенса: $tg \alpha = \frac{1}{-\frac{24}{7}}$.

Ответ: $-\frac{7}{24}$.