Номер 6, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. На рисунке 45 изображен график функции

$y = ax^2 + bx + c.$

Рис. 45

Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c.$

а) $a > 0; b > 0; c > 0;$

б) $a < 0; b < 0; c > 0;$

в) $a > 0; b < 0; c = 0;$

г) $a > 0; b < 0; c > 0;$

д) $a > 0; b < 0; c < 0.$

Для определения знаков коэффициентов $a$, $b$ и $c$ в уравнении параболы $y = ax^2 + bx + c$, необходимо проанализировать её график по следующим признакам:

1. Знак коэффициента $a$.
   Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. На данном графике ветви направлены вверх, что означает, что старший коэффициент $a$ является положительным.
   Следовательно, $a > 0$.
2. Знак коэффициента $c$.
   Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$. Геометрически это ордината точки пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что парабола пересекает ось $y$ выше начала координат, т.е. в точке с положительной ординатой.
   Следовательно, $c > 0$.
3. Знак коэффициента $b$.
   Знак коэффициента $b$ связан с расположением вершины параболы. Абсцисса (координата по оси $x$) вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   На графике вершина параболы расположена в первой координатной четверти, где абсцисса $x_0$ положительна. Таким образом, мы имеем неравенство: $$x_0 = -\frac{b}{2a} > 0$$ Умножим обе части неравенства на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $$\frac{b}{2a} < 0$$ Мы уже установили, что $a > 0$, а значит и знаменатель $2a$ также положителен ($2a > 0$). Для того чтобы дробь была отрицательной при положительном знаменателе, её числитель $b$ должен быть отрицательным.
   Следовательно, $b < 0$.

Итак, мы получили следующие знаки коэффициентов: $a > 0$, $b < 0$, $c > 0$.

Среди предложенных вариантов ответов этим условиям соответствует вариант г).

г) a > 0; b < 0; c > 0; Ответ: