Номер 8, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Найдите все значения аргумента, при которых график функции $y = -x^2 + x - 1$ расположен не выше оси абсцисс.

а) $(1; +\infty)$;

б) $[0; 1];

в) $(-\infty; +\infty);

г) $(-\infty; -1);

д) $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Условие задачи "график функции расположен не выше оси абсцисс" означает, что значения функции $y$ должны быть меньше или равны нулю. Ось абсцисс — это ось Ox, на которой $y=0$. Таким образом, нам необходимо найти все значения аргумента $x$, для которых выполняется неравенство:

$y \le 0$

Подставим в него заданное выражение для функции $y = -x^2 + x - 1$:

$-x^2 + x - 1 \le 0$

Для удобства решения умножим обе части неравенства на -1. Важно помнить, что при умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$(-1) \cdot (-x^2 + x - 1) \ge (-1) \cdot 0$

$x^2 - x + 1 \ge 0$

Теперь решим это квадратичное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 1 = 0$. Вычислим дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$a = 1, b = -1, c = 1$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант $D = -3$ отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение $x^2 - x + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции (парабола) $y = x^2 - x + 1$ не пересекает ось абсцисс.

Старший коэффициент параболы $a = 1$ положителен, следовательно, ее ветви направлены вверх.

Парабола, ветви которой направлены вверх и которая не пересекает ось Ox, полностью расположена в верхней полуплоскости, то есть все ее значения положительны. Таким образом, выражение $x^2 - x + 1$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 - x + 1 \ge 0$ справедливо для всех $x$ из множества действительных чисел.

Так как это неравенство равносильно исходному, то и неравенство $-x^2 + x - 1 \le 0$ выполняется для всех значений аргумента $x$.

Решением является множество всех действительных чисел, которое записывается в виде интервала $(-\infty; +\infty)$. Этот ответ соответствует варианту в).

Ответ: в) $(-\infty; +\infty)$