Номер 13, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Известно, что нулями функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ являются числа $-2 + 2\sqrt{3}$ и $24 - 2\sqrt{3}$. Найдите абсциссу вершины параболы.

Дана квадратичная функция $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Графиком этой функции является парабола.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю ($f(x) = 0$). Геометрически это точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Обозначим нули функции как $x_1$ и $x_2$.

По условию задачи, нам известны нули функции:
$x_1 = -2 + 2\sqrt{3}$
$x_2 = 24 - 2\sqrt{3}$

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы, которую мы обозначим как $x_в$, обладает важным свойством: она находится ровно посередине между нулями функции. Это следует из симметрии параболы относительно вертикальной оси, проходящей через ее вершину.

Таким образом, абсциссу вершины можно найти как среднее арифметическое нулей функции:
$x_в = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Сначала найдем сумму нулей $x_1 + x_2$:
$x_1 + x_2 = (-2 + 2\sqrt{3}) + (24 - 2\sqrt{3})$
Сгруппируем рациональные и иррациональные слагаемые:
$x_1 + x_2 = (-2 + 24) + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3})$
Иррациональные части $2\sqrt{3}$ и $-2\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются.
$x_1 + x_2 = 22$

Теперь, зная сумму нулей, мы можем вычислить абсциссу вершины параболы:
$x_в = \frac{22}{2} = 11$

Найдите абсциссу вершины параболы. Ответ: 11