Номер 10, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Квадратичная функция задана формулой $y = ax^2 - (a+2)x + 2$. Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству значений данной функции, если ее осью симметрии является прямая $x = -0,5$.

Квадратичная функция в общем виде записывается как $y = Ax^2 + Bx + C$. Для данной функции $y = ax^2 - (a+2)x + 2$ коэффициенты равны:
$A = a$
$B = -(a+2)$
$C = 2$

Формула для нахождения абсциссы вершины параболы (которая также является ее осью симметрии) имеет вид: $x_0 = -\frac{B}{2A}$.

Согласно условию задачи, осью симметрии является прямая $x = -0,5$. Используем это, чтобы найти значение параметра $a$:
$-0,5 = -\frac{-(a+2)}{2a}$
$-0,5 = \frac{a+2}{2a}$
Умножим обе части уравнения на $2a$. Так как функция квадратичная, $a \neq 0$.
$-0,5 \cdot (2a) = a+2$
$-a = a+2$
$-2 = 2a$
$a = -1$

Теперь подставим найденное значение $a = -1$ в исходную формулу функции:
$y = (-1)x^2 - (-1+2)x + 2$
$y = -x^2 - x + 2$

Множество значений квадратичной функции определяется положением ее вершины и направлением ветвей. Поскольку старший коэффициент $a = -1$ отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, в своей вершине функция достигает наибольшего значения. Все остальные значения функции будут меньше этого максимума.

Абсцисса вершины нам известна — это ось симметрии $x_0 = -0,5$. Чтобы найти наибольшее значение функции (ординату вершины), подставим $x_0 = -0,5$ в полученное уравнение:
$y_{max} = -(-0,5)^2 - (-0,5) + 2$
$y_{max} = -(0,25) + 0,5 + 2$
$y_{max} = 2,25$

Таким образом, множество значений функции — это луч $(-\infty; 2,25]$. Нам необходимо найти наибольшее целое число, принадлежащее этому множеству.

Наибольшее целое число, которое не превосходит $2,25$, это $2$.
Если представить максимальное значение в виде неправильной дроби, получим $2,25 = \frac{225}{100} = \frac{9}{4}$. Выделяя целую часть, имеем: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$. Целая часть равна 2.

Найдите наибольшее целое число, принадлежащее множеству значений данной функции, если ее осью симметрии является прямая x = -0,5. Ответ: 2