Номер 11, страница 185 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите значение выражения $k + b$, где $y = kx + b$ — уравнение прямой, проходящей через точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 2x$ и $y = 6x - x^2$.

Чтобы найти значение выражения $k+b$, сначала необходимо найти координаты точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2 + 2x$ и $y = 6x - x^2$. Прямая $y = kx + b$ проходит через эти две точки.

Шаг 1: Нахождение координат точек пересечения.

В точках пересечения значения $y$ для обеих функций равны. Поэтому мы можем приравнять правые части их уравнений:

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Перенесем все члены в левую часть:

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

Это уравнение имеет два решения (два корня):

$2x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Это абсциссы наших точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся уравнением $y = x^2 + 2x$.

• Для $x_1 = 0$: $$y_1 = (0)^2 + 2(0) = 0$$ Таким образом, первая точка пересечения — $A(0, 0)$.
• Для $x_2 = 2$: $$y_2 = (2)^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$$ Таким образом, вторая точка пересечения — $B(2, 8)$.

Шаг 2: Нахождение коэффициентов $k$ и $b$ для прямой.

Теперь у нас есть две точки, $A(0, 0)$ и $B(2, 8)$, через которые проходит прямая $y = kx + b$. Подставим координаты этих точек в уравнение прямой, чтобы составить систему уравнений для нахождения $k$ и $b$.

Подставляем точку $A(0, 0)$:

Из этого уравнения сразу следует, что $b = 0$.

Подставляем точку $B(2, 8)$ и найденное значение $b=0$:

Отсюда находим $k$:

Итак, мы определили коэффициенты прямой: $k = 4$ и $b = 0$.

Шаг 3: Вычисление значения выражения $k+b$.

Последний шаг — найти сумму $k+b$:

Ответ: 4