Номер 5, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5. Найдите, при каких значениях аргумента функция $y = (3 - x)(7x + 2)$ принимает отрицательные значения.

a) $(-\infty; -3) \cup (\frac{2}{7}; +\infty);$

б) $(-\frac{2}{7}; 3);$

в) $(-\infty; -3,5) \cup (3; +\infty);$

г) $(-3; \frac{2}{7});$

д) $(-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (3; +\infty).$

Чтобы найти, при каких значениях аргумента $x$ функция $y = (3 - x)(7x + 2)$ принимает отрицательные значения, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Составим и решим неравенство:

$(3 - x)(7x + 2) < 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения, то есть значения $x$, при которых произведение равно нулю:

$(3 - x)(7x + 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$3 - x = 0$ или $7x + 2 = 0$

Решая эти уравнения, получаем корни:

$x_1 = 3$

$7x = -2 \implies x_2 = -\frac{2}{7}$

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{7})$, $(-\frac{2}{7}; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения $(3 - x)(7x + 2)$ в каждом из интервалов, выбрав пробную точку из каждого интервала.

• Для интервала $(-\infty; -\frac{2}{7})$, возьмем $x = -1$: $(3 - (-1))(7(-1) + 2) = (4)(-5) = -20 < 0$. Знак "минус".
• Для интервала $(-\frac{2}{7}; 3)$, возьмем $x = 0$: $(3 - 0)(7(0) + 2) = (3)(2) = 6 > 0$. Знак "плюс".
• Для интервала $(3; +\infty)$, возьмем $x = 4$: $(3 - 4)(7(4) + 2) = (-1)(30) = -30 < 0$. Знак "минус".

Альтернативный способ — анализ графика функции. Функция $y = (3 - x)(7x + 2) = -7x^2 + 19x + 6$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-7 < 0$). Парабола с ветвями вниз принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, функция принимает отрицательные значения при $x < -\frac{2}{7}$ и при $x > 3$.

Решением неравенства является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (3; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту ответа д).

д) $(-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (3; +\infty)$. Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{7}) \cup (3; +\infty)$.