Номер 4, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4. Для параболы $y = -(x + 4)^2 - 5$ выберите неверное утверждение:

1) точка с координатами $(-4; -5)$ является вершиной параболы;

2) парабола пересекает ось ординат в точке $(0; -5)$;

3) множеством значений функции является промежуток $(-\infty; -5]$;

4) функция возрастает на промежутке $(-\infty; -4]$;

5) осью симметрии параболы является прямая $x = -4$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы выбрать неверное утверждение, проанализируем каждое из пяти предложенных вариантов для параболы, заданной уравнением $y = -(x + 4)^2 - 5$.

Уравнение параболы представлено в вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты вершины. В данном случае:

• Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Координаты вершины $(x_0, y_0)$ равны $(-4, -5)$.

Теперь выполним проверку каждого утверждения:

1) точка с координатами (-4; -5) является вершиной параболы;
Из вида уравнения $y = -(x - (-4))^2 - 5$ следует, что координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$ равны $(-4; -5)$.
Ответ: утверждение верное.

2) парабола пересекает ось ординат в точке (0; -5);
Чтобы найти точку пересечения графика с осью ординат (ось Y), необходимо подставить $x = 0$ в уравнение функции:
$y(0) = -(0 + 4)^2 - 5 = -4^2 - 5 = -16 - 5 = -21$.
Следовательно, парабола пересекает ось ординат в точке с координатами $(0; -21)$, а не в $(0; -5)$.
Ответ: утверждение неверное.

3) множеством значений функции является промежуток $(-\infty; -5]$;
Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a = -1 < 0$), ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции равно ординате вершины, то есть $y_{max} = -5$. Таким образом, множество значений функции (или область значений) — это промежуток $(-\infty; -5]$.
Ответ: утверждение верное.

4) функция возрастает на промежутке $(-\infty; -4]$;
Так как ветви параболы направлены вниз, функция возрастает на промежутке до абсциссы вершины и убывает после. Абсцисса вершины $x_0 = -4$. Значит, функция возрастает на промежутке $(-\infty; -4]$.
Ответ: утверждение верное.

5) осью симметрии параболы является прямая x = -4.
Осью симметрии параболы, заданной уравнением $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, является вертикальная прямая, проходящая через ее вершину, и ее уравнение $x = x_0$. Для данной параболы осью симметрии является прямая $x = -4$.
Ответ: утверждение верное.

В результате анализа установлено, что единственным неверным является утверждение под номером 2.

Итоговый ответ: б) 2.