Номер 14, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите наибольшее целое отрицательное значение переменной, при котором график функции $y = \frac{9}{x}$ расположен выше биссектрисы I и III координатных углов.

Условие, что график функции $y = \frac{9}{x}$ расположен выше биссектрисы I и III координатных углов, означает, что для одних и тех же значений переменной $x$ ордината (значение $y$) графика функции должна быть больше ординаты биссектрисы.

1. Уравнение биссектрисы I и III координатных углов — это прямая $y = x$.

2. Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \frac{9}{x}$ лежит выше прямой $y = x$, необходимо решить неравенство:

$\frac{9}{x} > x$

3. Для решения неравенства перенесём все его члены в одну сторону:

$\frac{9}{x} - x > 0$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{9 - x^2}{x} > 0$

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(3-x)(3+x)}{x} > 0$

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль (критические точки):

• $3 - x = 0 \implies x = 3$
• $3 + x = 0 \implies x = -3$
• $x = 0$

Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, \infty)$. Определим знак выражения $\frac{(3-x)(3+x)}{x}$ в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -3)$: возьмём $x = -4$. $\frac{(3-(-4))(3+(-4))}{-4} = \frac{7 \cdot (-1)}{-4} = \frac{7}{4} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-3, 0)$: возьмём $x = -1$. $\frac{(3-(-1))(3+(-1))}{-1} = \frac{4 \cdot 2}{-1} = -8 < 0$. Знак "-".
• Интервал $(0, 3)$: возьмём $x = 1$. $\frac{(3-1)(3+1)}{1} = \frac{2 \cdot 4}{1} = 8 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(3, \infty)$: возьмём $x = 4$. $\frac{(3-4)(3+4)}{4} = \frac{(-1) \cdot 7}{4} = -\frac{7}{4} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется там, где выражение имеет знак "+". Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (0, 3)$.

5. В задаче требуется найти наибольшее целое отрицательное значение переменной $x$. Из найденного решения выберем интервал с отрицательными значениями: $x \in (-\infty, -3)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: ..., -5, -4. Наибольшим из них является -4.

Ответ: -4