Номер 13, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Найдите, сколько целых чисел из промежутка $[-11; 45]$ принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^2 - x + 5} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 1}}$.

Для того чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{x^2 - x + 5} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 1}}$, необходимо выполнение следующих условий:

1. Выражение под первым корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - x + 5 \ge 0$.
2. Выражение под вторым корнем, которое находится в знаменателе, должно быть строго положительным: $x^2 - 1 > 0$.

Эти условия должны выполняться одновременно, поэтому необходимо решить систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x + 5 \ge 0 \\ x^2 - 1 > 0\end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - x + 5 \ge 0$.

Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x + 5 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент ($a=1$) положителен, парабола $y = x^2 - x + 5$ целиком расположена выше оси абсцисс. Это означает, что неравенство $x^2 - x + 5 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 1 > 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1) > 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков, где произведение положительно. Используя метод интервалов, получаем: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Пересечение решений обоих неравенств дает нам итоговую область определения функции:

$D(y) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь необходимо найти количество целых чисел из заданного промежутка $[-11; 45]$, которые входят в найденную область определения $D(y)$.

Для этого найдем пересечение множеств $[-11; 45]$ и $((-\infty; -1) \cup (1; +\infty))$.

Пересечение состоит из двух частей:

1. Целые числа из промежутка $[-11; 45] \cap (-\infty; -1) = [-11; -1)$.

К этому промежутку принадлежат целые числа от -11 до -2 включительно. Их количество можно посчитать по формуле: $b - a + 1 = (-2) - (-11) + 1 = 9 + 1 = 10$ чисел.

2. Целые числа из промежутка $[-11; 45] \cap (1; +\infty) = (1; 45]$.

К этому промежутку принадлежат целые числа от 2 до 45 включительно. Их количество: $45 - 2 + 1 = 43 + 1 = 44$ числа.

Общее количество целых чисел из промежутка $[-11; 45]$, принадлежащих области определения функции, равно сумме чисел из двух найденных наборов:

$10 + 44 = 54$.

Ответ: 54