Номер 1, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Выберите возможное равенство:

1) $ \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}; $

2) $ \cos \alpha = -\frac{\pi}{3}; $

3) $ \cos \alpha = \sqrt[12]{1,08}; $

4) $ \cos \alpha = \frac{1}{\sin 12^\circ}; $

5) $ \cos \alpha = -7^\circ. $

a) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для решения этой задачи необходимо вспомнить основное свойство функции косинус. Область значений функции косинус – это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого угла $\alpha$ должно выполняться двойное неравенство: $-1 \le \cos \alpha \le 1$.

Проверим каждое из предложенных равенств на соответствие этому условию.

1) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Чтобы сравнить значение дроби $\frac{\sqrt{5}}{2}$ с 1, можно сравнить их квадраты, так как оба значения положительны. $(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{5}{4}$. Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной. Выделим из неё целую часть: $\frac{5}{4} = \textbf{1}\frac{1}{4}$. Так как $1\frac{1}{4} > 1$, то и исходная дробь $\frac{\sqrt{5}}{2} > 1$. Значение выходит за пределы допустимого диапазона $[-1; 1]$.

Ответ: равенство невозможно.

2) $\cos \alpha = -\frac{\pi}{3}$

Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159$. Тогда $-\frac{\pi}{3} \approx -\frac{3,14159}{3} \approx -1,047$. Это значение меньше, чем $-1$, и, следовательно, не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: равенство невозможно.

3) $\cos \alpha = \sqrt[12]{1,08}$

Поскольку подкоренное выражение $1,08$ больше 1, то и корень любой степени из этого числа также будет больше 1. Чтобы это доказать, можно возвести $1$ и $\sqrt[12]{1,08}$ в 12-ю степень: $1^{12} = 1$. $(\sqrt[12]{1,08})^{12} = 1,08$. Так как $1,08 > 1$, то и $\sqrt[12]{1,08} > 1$. Значение выходит за пределы допустимого диапазона.

Ответ: равенство невозможно.

4) $\cos \alpha = \frac{1}{\sin 12^\circ}$

Угол $12^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 12^\circ < 90^\circ$). Для углов в этом диапазоне синус принимает значения от 0 до 1, не включая концы интервала. То есть, $0 < \sin 12^\circ < 1$. Если знаменатель дроби является положительным числом, меньшим 1, то значение всей дроби будет больше 1. Следовательно, $\frac{1}{\sin 12^\circ} > 1$. Это значение также не входит в область значений косинуса.

Ответ: равенство невозможно.

5) $\cos \alpha = -7^0$

В данном выражении операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. По определению, любое ненулевое число в нулевой степени равно 1 ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$). Таким образом, $-7^0 = -(7^0) = -1$. Значение $-1$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Такое равенство возможно, например, при $\alpha = \pi$.

Ответ: равенство возможно.

Таким образом, единственным возможным равенством из всех предложенных является пятое.