Номер 2, страница 186 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

2. Выберите выражение, значение которого отрицательно:

1) $\sin\frac{18\pi}{19}$;

2) $\cos(-49^\circ)$;

3) $\operatorname{tg}3$;

4) $\cos(-297^\circ)$;

5) $\operatorname{ctg}(-\frac{3\pi}{4})$.

а) 1);

б) 2);

в) 3);

г) 4);

д) 5).

Для того чтобы выбрать выражение, значение которого отрицательно, необходимо определить знак каждого из предложенных выражений, используя свойства тригонометрических функций и их знаки в координатных четвертях.

1) $\sin\frac{18\pi}{19}$
Угол $\frac{18\pi}{19}$ находится в радианах. Определим его положение на тригонометрической окружности. Так как $\frac{1}{2} < \frac{18}{19} < 1$, то выполняется неравенство $\frac{\pi}{2} < \frac{18\pi}{19} < \pi$. Это означает, что угол принадлежит второй координатной четверти, где синус положителен.
Ответ: Значение выражения положительное.

2) $\cos(-49^\circ)$
Функция косинуса является четной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-49^\circ) = \cos(49^\circ)$. Угол $49^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 49^\circ < 90^\circ$), где косинус положителен.
Ответ: Значение выражения положительное.

3) $\operatorname{tg}3$
Угол 3 дан в радианах. Для определения его четверти сравним его с ключевыми значениями $\pi \approx 3.14159$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$. Поскольку $\frac{\pi}{2} < 3 < \pi$, угол 3 радиана находится во второй координатной четверти. Тангенс во второй четверти отрицателен.
Ответ: Значение выражения отрицательное.

4) $\cos(-297^\circ)$
Используя свойство четности косинуса, имеем $\cos(-297^\circ) = \cos(297^\circ)$. Угол $297^\circ$ находится в четвертой координатной четверти ($270^\circ < 297^\circ < 360^\circ$). В этой четверти косинус положителен.
Ответ: Значение выражения положительное.

5) $\operatorname{ctg}(-\frac{3\pi}{4})$
Функция котангенса является нечетной, то есть $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$. Таким образом, $\operatorname{ctg}(-\frac{3\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})$. Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, $-\operatorname{ctg}(\frac{3\pi}{4})$ является положительным числом. Альтернативно, угол $-\frac{3\pi}{4}$ находится в третьей четверти, где и синус, и косинус отрицательны, а значит, их отношение (котангенс) положительно.
Ответ: Значение выражения положительное.

Из всех рассмотренных выражений только $\operatorname{tg}3$ имеет отрицательное значение. Это выражение находится под номером 3, что соответствует варианту ответа в).