Номер 11, страница 182 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Найдите количество целых значений аргумента, при которых значения функции $y = |2x - 8| - |x + 6|$ отрицательны.

Чтобы найти количество целых значений аргумента, при которых значения функции $y = |2x - 8| - |x + 6|$ отрицательны, необходимо решить неравенство $y < 0$.

Составим и решим неравенство:

$$|2x - 8| - |x + 6| < 0$$

Перенесем второй модуль в правую часть:

$$|2x - 8| < |x + 6|$$

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$$(2x - 8)^2 < (x + 6)^2$$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности и квадрата суммы:

$$4x^2 - 32x + 64 < x^2 + 12x + 36$$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$(4x^2 - x^2) + (-32x - 12x) + (64 - 36) < 0$$

$$3x^2 - 44x + 28 < 0$$

Теперь решим квадратное уравнение $3x^2 - 44x + 28 = 0$, чтобы найти корни параболы.

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 28 = 1936 - 336 = 1600$$

$$ \sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40 $$

Найдем корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 - 40}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{44 + 40}{2 \cdot 3} = \frac{84}{6} = 14$$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$), ветви параболы $y = 3x^2 - 44x + 28$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3x^2 - 44x + 28 < 0$ выполняется между корнями.

Решением неравенства является интервал: $$x \in (\frac{2}{3}, 14)$$

Теперь найдем количество целых значений аргумента $x$ в этом интервале. Целые числа, удовлетворяющие условию $\frac{2}{3} < x < 14$, это:

$$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13$$

Количество этих чисел равно $13 - 1 + 1 = 13$.

Ответ: 13.