Номер 5, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.5. Автомобиль встречает 4 светофора, каждый из которых пропуска-ет его с вероятностью 0,5. Найдите:

а) закон распределения случайной величины — числа светофоров до первой остановки машины;

б) математическое ожидание числа светофоров до первой остановки ма-шины.

Обозначим событие A - "автомобиль проезжает светофор", и событие B - "автомобиль останавливается на светофоре". По условию задачи, вероятность проехать светофор $p = P(A) = 0.5$. Следовательно, вероятность остановиться на светофоре $q = P(B) = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

а) закон распределения случайной величины — числа светофоров до первой остановки машины;

Пусть $X$ — случайная величина, равная числу светофоров, которые автомобиль проехал до первой остановки. Возможные значения $X$:

• $X=0$: автомобиль остановился на первом светофоре. Вероятность этого события: $P(X=0) = q = 0.5$
• $X=1$: автомобиль проехал первый светофор и остановился на втором. Вероятность этого события: $P(X=1) = p \cdot q = 0.5 \cdot 0.5 = 0.25$
• $X=2$: автомобиль проехал первые два светофора и остановился на третьем. Вероятность этого события: $P(X=2) = p \cdot p \cdot q = p^2 \cdot q = 0.5^2 \cdot 0.5 = 0.125$
• $X=3$: автомобиль проехал первые три светофора и остановился на четвертом. Вероятность этого события: $P(X=3) = p^3 \cdot q = 0.5^3 \cdot 0.5 = 0.5^4 = 0.0625$
• $X=4$: автомобиль проехал все четыре светофора без остановки. В этом случае "первая остановка" не происходит в рамках задачи, но количество пройденных светофоров равно 4. Вероятность этого события: $P(X=4) = p^4 = 0.5^4 = 0.0625$

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.0625 = 1$.

Закон распределения случайной величины $X$ можно представить в виде таблицы:

б) математическое ожидание числа светофоров до первой остановки машины.

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины $X$ вычисляется по формуле: $M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$

Подставим значения из найденного закона распределения: $M(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4)$

Выполним вычисления, используя дроби для точности: $M(X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{16} + 4 \cdot \frac{1}{16}$ $M(X) = 0 + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{16}$ Приведем все дроби к общему знаменателю 16: $M(X) = \frac{4}{16} + \frac{4}{16} + \frac{3}{16} + \frac{4}{16} = \frac{4+4+3+4}{16} = \frac{15}{16}$

Математическое ожидание равно $\frac{15}{16}$. Это правильная дробь, поэтому целая часть равна 0.