Номер 6, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.6. Баскетболист в среднем забрасывает штрафной мяч в корзину с вероятностью 0,5. Найдите:

а) закон распределения штрафных мячей, попавших в цель подряд;

б) математическое ожидание числа штрафных мячей, заброшенных подряд.

а) закон распределения штрафных мячей, попавших в цель подряд
Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству штрафных мячей, заброшенных в корзину подряд до первого промаха.
Вероятность успешного броска (попадания) по условию задачи равна $p = 0,5$.
Следовательно, вероятность неудачного броска (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5$.
Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, ...$.
Событие $X = k$ означает, что баскетболист совершил $k$ успешных бросков подряд, а $(k+1)$-й бросок был неудачным. Так как все броски являются независимыми событиями, вероятность такой последовательности событий можно вычислить как произведение их вероятностей:
$P(X=k) = \underbrace{p \cdot p \cdot \ldots \cdot p}_{k \text{ раз}} \cdot q = p^k \cdot q$
Подставим числовые значения $p=0,5$ и $q=0,5$ в полученную формулу:
$P(X=k) = (0,5)^k \cdot 0,5 = (0,5)^{k+1}$
Эта формула и определяет закон распределения для случайной величины $X$. Данное распределение называется геометрическим.
Ответ: Закон распределения задается формулой $P(X=k) = (0,5)^{k+1}$, где $k = 0, 1, 2, \ldots$.

б) математическое ожидание числа штрафных мячей, заброшенных подряд
Математическое ожидание $E[X]$ случайной величины $X$ — это среднее значение, которое она принимает. Для дискретной случайной величины, распределенной по геометрическому закону, как в нашем случае (число успехов до первого промаха), математическое ожидание вычисляется по формуле:
$E[X] = \frac{p}{q}$
Эту формулу можно вывести. Пусть $E$ - искомое математическое ожидание. После первого броска возможны два исхода:
1. Попадание (с вероятностью $p$). В этом случае мы получаем 1 очко (один мяч в серии), и ожидаемое число *последующих* попаданий снова равно $E$. Общее ожидаемое число в этом случае: $1+E$.
2. Промах (с вероятностью $q$). В этом случае серия прерывается, и число попаданий в ней равно 0.
Таким образом, по формуле полного математического ожидания:
$E = p \cdot (1+E) + q \cdot 0$
$E = p + p \cdot E$
$E - p \cdot E = p$
$E(1-p) = p$
$E \cdot q = p$
$E = \frac{p}{q}$
Подставим в эту формулу значения из условия задачи $p=0,5$ и $q=0,5$:
$E[X] = \frac{0,5}{0,5} = 1$
Следовательно, математическое ожидание числа штрафных мячей, заброшенных подряд, равно 1.
Ответ: 1