Номер 9, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.9. В шар вписан куб. Точку наудачу бросают в шар. Какова вероятность того, что она попадет в куб?

Данная задача относится к геометрической вероятности. Вероятность того, что случайно выбранная точка из шара окажется внутри вписанного в него куба, равна отношению объема куба к объему шара.

$$ P = \frac{V_{куба}}{V_{шара}} $$

Пусть $a$ — длина ребра куба, а $R$ — радиус шара.

1. Формулы объемов:

• Объем куба: $V_{куба} = a^3$
• Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

2. Связь между параметрами $a$ и $R$:

Если куб вписан в шар, то все его восемь вершин лежат на поверхности шара. Это означает, что главная диагональ куба ($d$) равна диаметру шара ($2R$).

Длина главной диагонали куба находится по формуле:

$$ d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} $$

Приравниваем диагональ куба к диаметру шара:

$$ a\sqrt{3} = 2R $$

Выразим ребро куба $a$ через радиус шара $R$:

$$ a = \frac{2R}{\sqrt{3}} $$

3. Вычисление объемов через одну переменную:

Теперь подставим выражение для $a$ в формулу объема куба:

$$ V_{куба} = a^3 = \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{8R^3}{3\sqrt{3}} $$

Объем шара остается $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

4. Вычисление вероятности:

Найдем отношение объемов:

$$ P = \frac{V_{куба}}{V_{шара}} = \frac{\frac{8R^3}{3\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}\pi R^3} $$

Сокращаем $R^3$ и $\frac{1}{3}$:

$$ P = \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{4\pi} = \frac{8}{4\pi\sqrt{3}} = \frac{2}{\pi\sqrt{3}} $$

Ответ: $ \frac{2}{\pi\sqrt{3}} $.