Номер 1, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20.1. Выпущено 1000 лотерейных билетов. На 100 билетов выпадет выигрыш 10 р., на 50 билетов — 20 р., на 20 билетов — 100 р., на 5 билетов выпадет выигрыш 200 р. Остальные билеты — без выигрыша.

a) Закон распределения случайной величины — выигрыша случайно купленного билета имеет следующий вид:

1)

2)

3)

4)

Выберите правильный ответ.

б) Каково математическое ожидание случайной величины — выигрыша случайно купленного билета?

а) Для того чтобы найти закон распределения случайной величины, которой является выигрыш, необходимо определить все возможные значения выигрыша и соответствующие им вероятности.

Всего выпущено 1000 лотерейных билетов. Это общее число всех возможных исходов.

Возможные значения выигрыша ($x$) и количество билетов для каждого значения:

• Выигрыш 200 р. — 5 билетов.
• Выигрыш 100 р. — 20 билетов.
• Выигрыш 20 р. — 50 билетов.
• Выигрыш 10 р. — 100 билетов.

Найдем количество билетов без выигрыша. Сначала посчитаем общее количество выигрышных билетов:

$5 + 20 + 50 + 100 = 175$ билетов.

Количество билетов без выигрыша (выигрыш $x=0$):

$1000 - 175 = 825$ билетов.

Теперь рассчитаем вероятности ($p$) для каждого возможного значения выигрыша. Вероятность находится по формуле $p = \frac{m}{n}$, где $m$ — количество билетов с данным выигрышем, а $n$ — общее количество билетов ($n=1000$).

• Вероятность выигрыша 0 р.: $p(x=0) = \frac{825}{1000} = 0,825$
• Вероятность выигрыша 10 р.: $p(x=10) = \frac{100}{1000} = 0,1$
• Вероятность выигрыша 20 р.: $p(x=20) = \frac{50}{1000} = 0,05$
• Вероятность выигрыша 100 р.: $p(x=100) = \frac{20}{1000} = 0,02$
• Вероятность выигрыша 200 р.: $p(x=200) = \frac{5}{1000} = 0,005$

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет следующий вид:

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:

$0,825 + 0,1 + 0,05 + 0,02 + 0,005 = 1$.

Сравнивая полученную таблицу с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с вариантом 1.
Ответ: 1.

б) Математическое ожидание $M(X)$ случайной величины — это среднее ожидаемое значение выигрыша. Оно вычисляется как сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.

Формула для расчета математического ожидания:

$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Используем значения и вероятности из найденного в пункте а) закона распределения:

$M(X) = (0 \cdot 0,825) + (10 \cdot 0,1) + (20 \cdot 0,05) + (100 \cdot 0,02) + (200 \cdot 0,005)$

Выполним вычисления:

$M(X) = 0 + 1 + 1 + 2 + 1 = 5$

Таким образом, математическое ожидание выигрыша на один купленный билет составляет 5 рублей.
Ответ: 5.