Номер 7, страница 166 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

19.7. В треугольник со сторонами $a = 9$; $b = 13$; $c = 16$ вписан круг. Точка $M$ произвольно ставится в треугольник. Найдите вероятность того, что точка попадет в круг.

Вероятность того, что произвольно поставленная в треугольник точка попадет во вписанный в него круг, равна отношению площади этого круга ($S_{круга}$) к площади треугольника ($S_{треугольника}$). Это задача на геометрическую вероятность.

$$P = \frac{S_{круга}}{S_{треугольника}}$$

Сначала найдем площадь треугольника по его сторонам $a=9$, $b=13$, $c=16$, используя формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр:

$$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+13+16}{2} = \frac{38}{2} = 19$$

Теперь вычислим площадь треугольника:

$$S_{треугольника} = \sqrt{19(19-9)(19-13)(19-16)} = \sqrt{19 \cdot 10 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{3420}$$

$$S_{треугольника} = \sqrt{36 \cdot 95} = 6\sqrt{95}$$

Далее найдем площадь вписанного круга. Радиус вписанной окружности $r$ связан с площадью и полупериметром треугольника по формуле $S_{треугольника} = p \cdot r$.

Отсюда находим радиус:

$$r = \frac{S_{треугольника}}{p} = \frac{6\sqrt{95}}{19}$$

Площадь вписанного круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$:

$$S_{круга} = \pi \left(\frac{6\sqrt{95}}{19}\right)^2 = \pi \frac{36 \cdot 95}{19^2} = \pi \frac{36 \cdot 5 \cdot 19}{19 \cdot 19} = \frac{180\pi}{19}$$

Наконец, вычислим искомую вероятность как отношение площадей:

$$P = \frac{S_{круга}}{S_{треугольника}} = \frac{\frac{180\pi}{19}}{6\sqrt{95}} = \frac{180\pi}{19 \cdot 6\sqrt{95}} = \frac{30\pi}{19\sqrt{95}}$$

19.7. Ответ: $$\frac{30\pi}{19\sqrt{95}}$$