Номер 6, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8.6. Определите верные неравенства:

a) $2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} > 3\log_8 26$;

б) $2\log_3 4 < 3\log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{17}$;

в) $\log_2 5 < \log_3 13$;

г) $2^{\log_5 3} > 3^{\log_5 2} + 0,01.$

Проанализируем каждое неравенство отдельно.

а) $2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} > 3\log_8 26$
Преобразуем левую и правую части неравенства, приводя логарифмы к одному основанию (в данном случае к основанию 2) и используя свойства логарифмов ($n\log_a b = \log_a b^n$ и $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$).

Левая часть: $2\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5} = 2\log_{2^{-1}} 5^{-1} = 2 \cdot \frac{-1}{-1} \log_2 5 = 2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25$.

Правая часть: $3\log_8 26 = 3\log_{2^3} 26 = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 26 = \log_2 26$.

Теперь сравним полученные выражения: $\log_2 25 > \log_2 26$.

Логарифмическая функция с основанием $a=2 > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $25 < 26$, то должно выполняться неравенство $\log_2 25 < \log_2 26$.
Следовательно, исходное неравенство неверно.
Ответ: неверно.

б) $2\log_3 4 < 3\log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{17}$
Преобразуем обе части неравенства, приводя логарифмы к основанию 3.

Левая часть: $2\log_3 4 = \log_3 4^2 = \log_3 16$.

Правая часть: $3\log_{\frac{1}{27}} \frac{1}{17} = 3\log_{3^{-3}} 17^{-1} = 3 \cdot \frac{-1}{-3} \log_3 17 = 1 \cdot \log_3 17 = \log_3 17$.

Сравниваем полученные выражения: $\log_3 16 < \log_3 17$.

Логарифмическая функция с основанием $a=3 > 1$ является возрастающей. Так как $16 < 17$, то неравенство $\log_3 16 < \log_3 17$ истинно.
Следовательно, исходное неравенство верно.
Ответ: верно.

в) $\log_2 5 < \log_3 13$
Поскольку основания логарифмов различны, для сравнения значений воспользуемся методом сравнения с промежуточным числом. В качестве такого числа удобно взять неправильную дробь $\frac{7}{3}$. Выделим из неё целую часть: $\frac{7}{3} = \mathbf{2}\frac{1}{3}$.

1. Сравним $\log_2 5$ с $\frac{7}{3}$. Неравенство $\log_2 5 < \frac{7}{3}$ равносильно неравенству $5 < 2^{\frac{7}{3}}$ (так как функция $y=2^x$ возрастающая). Чтобы избавиться от дробного показателя, возведём обе части в степень 3: $5^3 < (2^{\frac{7}{3}})^3$ $125 < 2^7$ $125 < 128$. Это верное числовое неравенство, значит, $\log_2 5 < \frac{7}{3}$.

2. Сравним $\log_3 13$ с $\frac{7}{3}$. Неравенство $\log_3 13 > \frac{7}{3}$ равносильно неравенству $13 > 3^{\frac{7}{3}}$ (так как функция $y=3^x$ возрастающая). Возведём обе части в степень 3: $13^3 > (3^{\frac{7}{3}})^3$ $2197 > 3^7$. Вычислим $3^7 = 3^5 \cdot 3^2 = 243 \cdot 9 = 2187$. Получаем $2197 > 2187$. Это верное числовое неравенство, значит, $\log_3 13 > \frac{7}{3}$.

3. Объединяем результаты. Мы получили двойное неравенство: $\log_2 5 < \frac{7}{3} < \log_3 13$. Из этого следует, что $\log_2 5 < \log_3 13$.
Следовательно, исходное неравенство верно.
Ответ: верно.

г) $2^{\log_5 3} > 3^{\log_5 2} + 0,01$
Воспользуемся свойством логарифма $c^{\log_b a} = a^{\log_b c}$ для преобразования правой части.

$3^{\log_5 2} = 2^{\log_5 3}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство: $2^{\log_5 3} > 2^{\log_5 3} + 0,01$.

Пусть $X = 2^{\log_5 3}$. Тогда неравенство принимает вид: $X > X + 0,01$.

Вычитая $X$ из обеих частей, получаем: $0 > 0,01$.

Это неверное числовое неравенство.
Следовательно, исходное неравенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются неравенства б) и в).