Номер 9, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.9. Найдите нули функции:

а) $y = 7^x - 3$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 5$;

в) $y = 6^{\frac{x}{2}} - 3$;

г) $y = 10^{2x} - 11$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо приравнять $y$ к нулю и решить полученное уравнение.

а) Для функции $y = 7^x - 3$

Приравниваем функцию к нулю:

$7^x - 3 = 0$

Переносим $-3$ в правую часть уравнения:

$7^x = 3$

По определению логарифма, если $a^c = b$, то $c = \log_a b$. Применяя это правило, находим $x$:

$x = \log_7 3$

Ответ: $x = \log_7 3$.

б) Для функции $y = (\frac{1}{2})^x - 5$

Приравниваем функцию к нулю:

$(\frac{1}{2})^x - 5 = 0$

Переносим $-5$ в правую часть уравнения:

$(\frac{1}{2})^x = 5$

Используя определение логарифма, получаем:

$x = \log_{\frac{1}{2}} 5$

Это выражение можно преобразовать, используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, получаем:

$x = \log_{2^{-1}} 5 = \frac{1}{-1}\log_2 5 = -\log_2 5$

Ответ: $x = -\log_2 5$.

в) Для функции $y = 6^{\frac{x}{2}} - 3$

Приравниваем функцию к нулю:

$6^{\frac{x}{2}} - 3 = 0$

Переносим $-3$ в правую часть уравнения:

$6^{\frac{x}{2}} = 3$

По определению логарифма:

$\frac{x}{2} = \log_6 3$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$x = 2\log_6 3$

Используя свойство логарифма $k \log_a b = \log_a b^k$, можно записать ответ в другом виде: $x = \log_6 3^2 = \log_6 9$.

Ответ: $x = 2\log_6 3$.

г) Для функции $y = 10^{2x} - 11$

Приравниваем функцию к нулю:

$10^{2x} - 11 = 0$

Переносим $-11$ в правую часть уравнения:

$10^{2x} = 11$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм, обозначаемый $\lg$):

$\lg(10^{2x}) = \lg 11$

Используя основное логарифмическое тождество $\log_a a^c = c$, получаем:

$2x = \lg 11$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\lg 11}{2}$

Ответ: $x = \frac{\lg 11}{2}$.